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La Raíz Cuadrada de dos=1,41421 35623 73095 …

Hace un tiempo me encontré con un artículo de Martin Gardner en el número de Abril de 1997 de la revista Math Horizon, titulado: The Root Square of two=1.414213562373095… la idea de este post es resumir y traducir las principales ideas allí expuestas.

Con un pequeño verso comienza Gardner exponiendo, el resultado inexorable de la raíz cuadrada de 2:

“Las rosas son rojas,

Las violetas son azules

Uno coma 414….

Es la raíz cuadrada de dos.”

Los puntos al final del número indican que la fracción decimal de la raíz cuadrada de dos, no se repite y es infinita, dicho de otra forma:

\displaystyle\sqrt{2}= Es Irracional

Sus dígitos decimales, como pasa con otros famosos números irracionales como \displaystyle\pi y \displaystyle e, parecen seguir una sucesión al azar, pero lejos está de ser aleatoria. Conocido cualquier número siempre se puede calcular el que le sigue en cualquier corte que se haga en la secuencia. La raíz cuadrada de dos, por ejemplo, es el límite de la siguiente fracción continua e infinita:

\displaystyle\sqrt{2}=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+1}}}

De esta fracción continua se pueden derivar fracciones racionales cuyos resultados se aproximan a la raíz cuadrada de 2 con cualquier grado deseado de exactitud.

La sucesión 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1303/985, …. algunas veces llamada Escala de Eudoxo (Eudoxus’ Ladder) en honor al antiguo geómetra y astrónomo griego, aproxima alternadamente por arriba y por abajo del valor del límite de dicha sucesión que es justamente la raíz cuadrada de dos. Cada fracción se acerca más a la raíz cuadrada de dos que su antecesor. La mejor aproximación con numerador y denominador de no más de tres dígitos es 577/408 que resulta en la raíz cuadrada de dos hasta el quinto decimal. Todo esto se puede verificar trabajando una planilla de cálculo Excel como la siguiente:

Si representamos una fracción cualquiera de la sucesión como a/b, la fracción que le sigue será (a+2b)/(a+b). Se puede notar que en cada etapa de la escala el numerador de una fracción es la suma de su denominador y del denominador de la fracción anterior.

En el libro Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers de David Wells, se expone una extraña propiedad de los múltiplos de la raíz cuadrada de dos. Por ejemplo, se escriben los múltiplos en línea, omitiendo la parte fraccionaria, así se obtiene la siguiente sucesión: 1, 2, 4, 5, 7, 8, …..

Bajo esta sucesión se escriben los números faltantes en la primera:

1 2 4 5 7 8 9 11 12 …

3 6 10 13 17 20 23 27 30 …

La diferencia entre el número de arriba y el de abajo en cada enésima posición es siempre dos veces n.

Fin de la primera parte.

Referencia:

#  The Root Square of two=1.414213562373095… – Martin Gardner – Math Horizons April 1997.

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  1. octubre 22, 2011 en 3:55 am | #1

    Entretenidísimo, y muy completo post.

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