Lámpara hiperbólica

Muchos tienen en sus casas esas lámparas con pantalla  que se usan en los living-rooms o en la mesas de luz de las habitaciones, que al estar encedidas emanan un cono de luz hacia arriba y otro hacia abajo, los cuales forman sobre la pared dos  figuras con forma de hipérbole.

Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:

- Se define como origen al filamento del foco o bombilla de la lámpara.

- Los ejes e forman el plano horizontal con el eje paralelo a la pared y el eje perpendicular a la pared.

- El eje es el eje vértical.

Para desarrollar una descripción matemática de las figuras proyectadas por la lámpara sobre la pared, utilizando este sistema de coordenadas, es útil considerar a la luz que se sale por los extremos superior e inferior de la lámpara, como los círculos de dos conos simétricos respecto del eje con un origen común situado en el filamento del foco.  Los dos conos de luz no son iguales e intersectan la pared en . El siguiente diagrama ejemplifica la idea:

La ecuación es la ecuación general para un par de conos circulares, simétricos respecto del eje , con punto en común al origen. Aquí es el radio de los conos cuando ( es la distancia vertical desde el centro de la bombilla de luz hacia el circulo superior de la lámpara y hacia el círculo inferior de la misma).

     

 

Las líneas formadas por la intersección de estos conos (la luz que sale de lámpara) con el plano (la pared) localizado en , generan las dos ramas de la hipérbola, definidas por la ecuación .

Los parámetros tanto del cono de luz superior como inferior, están dados en la descripción geométrica del problema y son los siguientes:

Cono Superior (, ).

Cono Inferior (, ).

Sustituyendo estos parámetros en la ecuación y resolviendo se obtienen las fórmulas para la luz reflejada por la lámpara, tanto por su extremo superior como por el inferior.

 

 

Tomadas las medidas experimentales versus lo calculado por las ecuaciones y se puede armar una planilla de cálculo, graficar los mismos y analizar la presición de las ecuaciones para replicar el fenómeno estudiado. En este caso consideramos los siguiente valores para los parámetros , , , y y obtenemos el siguiente gráfico:

Referencias:

(1) The Shape of Lamp Shade Shadows – Kenneth E. Horst – The Physics Teacher Vol 39 (March 2001) pp 139.

(2) Hyperbolic Light – entrada del 19/02/2009 del  blog 360.

Esta entrada se propuso para la cuarta edición del Carnaval de Física que tiene como anfitrión a rtfm.es.

Truco Matemático

En el blog Division by Zero plantean un truco interesante para hacer con una calculadora:

1- Configurar la calculadora en modo grados (no radianes).

2- Tipear el número 5 cuántas veces se desee.

3- Pulsar 

4- Pulsar

5- Examinamos el resultado (concretamente la mantisa) y ¡¡¡magia!!!

Ejemplos:

Tipeamos seis veces 5 y siguiendo el procedimiento obtenemos:

Probamos otra vez introduciendo diez veces 5 y resulta:

¿Será una coincidencia que el resultado se parezca mucho a ?  No, no es una coincidencia, entonces, ¿Cómo funciona?:

Sabemos que .

De este modo, si (el -dígito de todos los cincos), entonces .

Para valores de cercanos a cero, en caso de utilizar radianes, pero al utilizar grados cuando tiende a cero, tenemos que .

Juntando todas las piezas, obtenemos:

.

Q.E.D.

Referencia:

Este post es una traducción hecha de “The Math behind a neat calculator trick” post del blog Division by Zero del Professor Dave Richeson, reproducido y traducido con su autorización.

Número muy Interesante

Adrián Paenza en su libro Matemática … ¿estás ahí? demuestra que todos los números naturales son interesantes. Podríamos agregar que hay números, que por sus propiedades, son más interesantes que otros y ciertamente el número 3435 entra en la categoría de “número muy interesante”, ¿por qué?, veamos:

¿Habrá otro número con esta propiedad?

Para ver un desarrollo completo de las propiedades de este número chequear este paper de Daan Van Berkel en arXiv.

Autocine

Al igual que en el post anterior, seguimos explorando como aplicar conceptos e ideas geométricas sencillas en problemas de localización, o sea  como determinar lugares o ubicaciones óptimas.

El propietario de un autocine, se hizo asesorar profesionalmente respecto del ángulo óptimo (theta) en el cual la pantalla debería presentarte a los espectadores. Recibió entonces, un informe el cual definía como la mejor ubicación en su autocine, al punto V directamente en frente de la pantalla, según ilustra el siguiente diagrama:

El propietario, interesado en poder cobrar un precio diferencial por esta ubicación privelegiada a más de un cliente, quiere saber si existen otros puntos, como U, desde el cual la pantalla subtiende o abarca el mismo ángulo .

La respuesta es que todos los puntos sobre el círculo que pasa por los tres puntos A, B y V,  son ubicaciones desde las cuales los espectadores tendrán el mismo ángulo de visión hacia la pantalla. Esto se debe al siguiente teorema:

Teorema 1: Un ángulo inscrito en un círculo es medido por la mitad del arco interceptado.

En otras palabras; un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que sostiene o abarca el mismo arco. Esto se puede ver claramente en la siguiente figura:

El teorema se puede demostrar a partir del análisis de cualquiera de tres casos posibles. Haciendo click en la figura anterior se accede a la demostración del caso 2, el caso 1 se puede ver aquí y el caso 3 aquí.

(Algunas definiciones de circunferencia y sus elementos se puenden ver en este apunte así como también para definiciones de ángulo inscrito y arco chequear aquí).

Referencia:

# Excursions in Geometry – C. Stanley Ogilvy – Oxford University Press 1969.

(Este post es un resumen y traducción libre elaborado de la primera parte del capitulo 1 de Excursions in Geometry el cual se puede consultar en su totalidad en GoogleBooks aqui en formato de archivo djvu aquí).

Granjas y Depósitos

Las comunidades rurales normalmente se componen de varias granjas dispersas en una amplia zona rural (consideramos esta zona rural totalmente plana, sin montañas). Entre dos granjas cualquiera de la comunidad existe una distancia máxima de separación , por ejemplo: km. Se ha decidido construir un depósito o granero de uso compartido para almacenar la cosecha de todas las granjas. Este depósito debe construirse en una ubicación tal, que la distancia con la granja más lejana sea la mínima posible.

¿Cómo se puede cumplir con este requisito de construcción de la manera más efectiva posible?

Si el depósito se construye en los terrenos de una de las granjas, entonces ninguna otra granja estará a más de km de distancia del mismo. Sin embargo, es posible mejorar esta construcción de manera de minimizar aún más la distancia de separación entre el depósito y la granja más lejana.

Supongamos que tenemos una comunidad rural formada por tres (03) granjas ; y la mayor distancia que existe entre dos granjas cualquiera de ellas es de km. Las alternativas de localización óptima del depósito dependerá de como estén ubicadas las granjas una respecto de las otras, por lo que se dan básicamente tres posibilidades:

(1) Las granjas se ubican de tal manera, que forman una línea recta:

En este caso, la ubicación óptima para el depósito es a mitad de camino de  las  granjas separadas por km de distancia. Como resultado ninguna granja queda a más de 1/2 km de distancia del depósito.

(2) Las granjas se ubican formando un triángulo obtusángulo o sea formando un triángulo con uno de sus ángulos mayor a 90° (y menor a 180°):

Al igual que el caso anterior, la ubicación óptima para el depósito se encuentra a mitad de camino de las granjas separadas por 1 km de distancia. Ninguna granja estará a más de 1/2 km de distancia del depósito común.

(3) Finalmente, la alternativa restante se da cuando las tres (03) granjas A,B y C son vértices de un triángulo acutángulo o sea un triángulo cuyos ángulos son menores a 90°:

En este caso tenemos que:

es el ángulo mayor del triángulo , y 60° A 90°  con

El radio del circuncirculo, o sea el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo , viene dado por: .

(Esta última  fórmula surge de conocer la medida de y al ser el ángulo opuesto por Ley de los Senos el diámetro del circuncirculo del triángulo es y su radio es la mitad).

Si  y 60° A 90°  inferimos:

     

Entonces ubicando el depósito en el circuncentro del triángulo acutángulo o agudo formado por las granjas , o dicho de otra manera, en el punto por donde se cortan las tres mediatrices del triángulo formado y que a la vez es el centro del circuncirculo, podemos estar seguros que ninguna granja estará a más de o aproximadamente km de distancia del mismo.

Resumiendo, en una comunidad rural formada por tres granjas y cualquiera sea su disposición en el campo, siempre se puede construir un depósito en un punto desde el cual ninguna de las granjas estará alejada a más de km de distancia.

Lo sorprendente de este resultado, es que también es válido para una comunidad rural de granjas. Esto fue demostrado por H.W.E. Jung en 1901, y puesto en términos abstractos el Teorema de Jung establece que: si un conjunto de puntos en el plano es tal que la máxima distancia entre cualquiera dos puntos del conjunto es , entonces existe otro punto cuya distancia desde ninguno de los puntos dados excede a .

Referencias:

# An Extremal Problem in Elementary Geometry – R.J. Webster -Mathematical Spectrum Volumen 19 1968/1969 Number 1 pp 1.

En este artículo hay una demostración del Teorema de Jung basada en los conceptos de Espacio Euclídeo, Convexidad, Figuras Convexas.

# Números y Figuras – Hans Rademacher y Otto Toeplitz – Cap. 16 “El Círculo de Dispersión de un Conjunto Finito de Puntos” – Editorial Aguilar – 1968. (Es traducción de  The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur, y se puede descargar completo de aquí).

Este fantástico librito dedica todo un capítulo a la descripción y demostración del Teorema de Jung.

# MathWorld tiene una entrada sobre el Teorema de Jung.

# Wikipedia también tiene una breve descripción del Teorema de Jung.

(Este post se propuso para la 1° Edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 15/02/2010 en el blog Tito Eliatron Dixit.)

Carnaval de Matemáticas

A partir de hoy y durante toda esta semana  se puede postear un artículo sobre matemática y referenciarlo para que el próximo 15 de febrero aparezca el link en la 1° edición del Carnaval de Matematicas. El blog Tito Eliatron Dixit es el encargado de juntar todos los posts que se hagan esta semana, para publicarlos el próximo lunes. A postear!!!