Truco Matemático

En el blog Division by Zero plantean un truco interesante para hacer con una calculadora:

1- Configurar la calculadora en modo grados (no radianes).

2- Tipear el número 5 cuántas veces se desee.

3- Pulsar  \displaystyle\frac{1}{x}

4- Pulsar \sin

5- Examinamos el resultado (concretamente la mantisa) y ¡¡¡magia!!!

Ejemplos:

Tipeamos seis veces 5 y siguiendo el procedimiento obtenemos:

{\sin(1/555555)=0.000000031415958=3.1415958\times 10^{-8}}

Probamos otra vez introduciendo diez veces 5 y resulta:

{\sin(1/5555555555)=3.141592653903954\times 10^{-12}}

¿Será una coincidencia que el resultado se parezca mucho a \displaystyle\pi ?  No, no es una coincidencia, entonces, ¿Cómo funciona?:

Sabemos que {\displaystyle \frac{1}{180}=0.005555\bar{5}}.

De este modo, si {n_{k}=555\cdots 5} (el {k}-dígito de todos los cincos), entonces {\displaystyle \frac{1}{n_{k}}\approx 180\times 10^{-k-2}}.

Para valores de {x} cercanos a cero, {\sin(x)\approx x} en caso de utilizar radianes, pero al utilizar grados cuando {x} tiende a cero, tenemos que {\displaystyle\sin x\approx \frac{\pi}{180}x}.

Juntando todas las piezas, obtenemos:

{\displaystyle\sin(\frac{1}{n_{k}})=\sin(\frac{1}{555\cdots 5})\approx\frac{\pi}{180}(180\times 10^{-k-2})=\pi\times 10^{-k-2}}.

Q.E.D.

Referencia:

Este post es una traducción hecha de “The Math behind a neat calculator trick” post del blog Division by Zero del Professor Dave Richeson, reproducido y traducido con su autorización.

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