Piensa, piensa, piensa:
Referencia:
Actualización del 01/04/2010:
Sea 
Concluimos que para cualquier conjunto de tres números de la forma 
Conocida es la siguiente igualdad para todo número entero positivo:
El matemático francés Joseph Liouville (1809-1882) descubrió un interesante procedimiento por el cual se puede generar cualquier conjunto de números enteros positivos con la misma propiedad: la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma.
Primero elegimos un número entero positivo N, digamos el 6. Luego determinados los divisores de N; para N=6 ellos son (1, 2, 3, 6). Finalmente se cuentan la cantidad de divisores que tienen los divisores mencionados, en este caso tenemos que 1 tiene uno solo divisor, 2 tiene dos divisores, lo mismo que 3 y 6 tiene cuatro divisores, así obtenemos el siguiente conjunto de números (1, 2, 2, 4) que satisfacen la propiedad buscada:
Referencia:
# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 72.
Vía Walking Randomly econtré un link a un sitio llamado Inverse Graphing Calculator que a partir de una palabra o juego de palabras genera la ecuación que permite su gráfica. Así, según este sitio, si graficamos la siguiente ecuación:
obtenemos el siguiente gráfico:
¿Que tal? ahora habría que verificar si la ecuación es válida….uuuhhmm mejor otro día.
- ¿Esa calculadora es nueva?
- En realidad, ¡¡es mucho más que una simple calculadora!!
- No me digas, ¿puede dividir en 0?
- No!!!, a lo que me refiero es que es también un teléfono, una cámara, una notebook, una netbook y una máquina de café!!
- Impresionante!!!
- Bueno sorpréndeme, te pregunto:
- ¿Cuánto da 2618 x 11?
- ¡Quieres que te acompañe la respuesta con papas fritas?
- Un café au lait será suficiente.
- La respuesta es 28798. ¡Cuidado!, el café está caliente.
- Da vuelta 2618 para obtener 8162 y multiplica por 11. ¿Cuánto te da?
- 89782. Pero, si es la primera respuesta al revés. ¡Estoy impresionado!
- Yo también.
- ¿Habrá más números como éstos? ¿Porqué se comportarán así?
- A mí, lo que me gustaría saber es, ¿cómo hace tu calculadora para preparar café?.
Referencia:
Supongamos que deseamos saber si un número cualquiera es divisible en 7, por ejemplo 27720. Entonces hacemos lo siguiente:
1) Dividimos 27720 en 50, es igual a 554 con un resto de 20.
2) Luego dividimos 554 en 50, es igual a 11 con un resto de 4.
3) Finalmente dividimos 11 en 50, es igual a 0 con un resto de 11.
La suma de los restos obtenidos: 20+4+11 = 35, resultado que es divisible en 7, por lo tanto 27720 es divisible en 7. Esta regla funciona para cualquier número que se nos ocurra, ¿porqué será?.
Referencia:
# Dividing by 7 or 13 – Anthony Higgins – Mathematical Spectrum Volume 17 1984/1985 Number 1 pp 26.
Es interesante descomponer el resultado de sucesivas potencias de 3, en una suma de números enteros consecutivos:
¿Alguien se anima con 
Referencia:
# Powers of 3 – L.B. Dutta – Mathematical Spectrum Volume 17 1984/1985 Number 1 pp 15.
Hoy domingo 14 de marzo, como cada año, se celebra el día de 
El conocimiento de la constante
Colocaron una marca en el largo AB de la cuerda tensada con las estacas, lo que constituye el diámetro del círculo dibujado y la unidad medida a utilizar para medir la circunferencia del mismo. Con dicha cuerda fueron rodeando la circunferencia comenzando desde el punto A (donde se clavó la primera estaca). La primera marca, C, indica que se recorrió el primer diámetro sobre la circunferencia, repetimos la operación desde C y llegamos a D, otra vez desde D y se llega a E. Así el diámetro cabe tres veces y un poquito en la circunferencia. Si desechamos ese “poquito”, redondeando al número entero más cercano llegamos a una primera y buena aproximación 
Para mejorar esta primera aproximación pudieron haber medido el tramo EA como una fracción de la unidad de medida utilizada AB (el diámetro del círculo). O sea marcaron la cantidad de veces que EA cabe a lo largo AB , y según se ve en la figura: EA “entra” en AB entre 7 y 8 veces. Entonces el arco EA está entre 
Esta aproximación refleja la cantidad de veces que la longitud de la cuerda AB cabe en la circunferencia ACDE, redondeada a la fracción simple más cercana.
Los valores 
Como ejemplo, el Antiguo Testamento tiene el siguiente versículo (I Reyes 7:23 y II Crónicas 4:2):
Luego hizo un mar de metal fundido de diez codos de borde a borde; era perfectamente redondo, de cinco codos de altura, y un hilo de treinta codos medía su circunferencia.
El mar de metal fundido, según esta escritura, es circular; mide 30 codos de contorno (circunferencia) y 10 codos de borde a borde (diámetro); así, el valor bíblico para 
Referencia:
# Historia de 
¿Cuántas veces a partir de ciertas observaciones y hechos conocidos hemos llegado a conclusiones que nos parecían intuitivamente lógicas pero terminaron siendo incorrectas? En mi caso en varias ocasiones.
Muchas veces el método de razonar desde la “intuición” resulta erróneo y conduce a ideas falsas o equivocadas.
Este fin de semana, repasando un entretenido librito escrito por Albert Einstein y Lopold Infeld, titulado “La Física: aventura del pensamiento” encontré un ejemplo concreto de los errores a los que puede llevar un razonamiento basado en pura intuición.
Einstein toma como ejemplo el problema del “movimiento de los cuerpos” y comenta cómo durante siglos se tuvo como verdadera la afirmación al respecto de Aristóteles, nada menos, que en su libro “Mecánica”, expresaba:
“El cuerpo en movimiento se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar”
Aristóteles vinculaba, como intuitivamente a primera vista todos lo hacemos, la velocidad o rapidez en el movimiento de un cuerpo con la fuerza o la acción.
Ahora bien, suponiendo que conducimos un carrito en una calle horizontal y de repente dejamos de empujarlo, sabemos que el mismo recorrerá una cierta distancia antes de detenerse. ¿Cómo podemos aumentar esa distancia?, podríamos engrasar las ruedas o tal vez alisar aún más la superficie sobre la cuál se desplaza el carrito. O sea lograríamos una mayor distancia en el desplazamiento del carrito disminuyendo las influencias externas, aminorando los efectos de la fricción o roce.
Por medio del ejemplo estamos haciendo una interpretación teórica, hasta cierto punto arbitraria, de lo observado. Es por ello, que es útil imaginar un camino perfectamente alisado y ruedas sin roce y así concluir que, en dicho caso, al no existir influencias externas al movimiento, el carrito se movería eternamente a una velocidad uniforme.
Esta forma de razonar científicamente fue introducida por Galileo y nos dice que no debemos creer, siempre, en las conclusiones intuitivas basadas en la observación inmediata.
Finalmente, con respecto del movimiento de los cuerpos, fue Newton quien lo formuló correctamente a través del “principio de la inercia”:
“Un cuerpo en reposo, o en movimiento, se mantendrá en reposo, o en movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que sobre él actúen fuerzas que lo obliguen a modificar dichos estados”.
La ley de la inercia no puede inferirse directamente de la experiencia, sino mediante el razonamiento coherente con lo observado. El experimento ideal no podrá nunca realizarse, a pesar de que nos conduce a un entendimiento profundo de las experiencias reales.
Aplicar esta forma de razonar científicamente en todos los órdenes nos hace menos falibles a conclusiones rápidas que suenan bien pero que muchas veces son equivocadas.
Entrada propuesta para la quinta edición del Carnaval de Física en el blog Cienciamania).
Los Pitagóricos cosideraban a los números naturales como las llaves que abrían las puertas del Universo, lo cual los llevó a desarrollar toda una mística alrededor de los mismos, adjudicándoles diversas cualidades. Asi, los números impares representaban al sexo masculino y los números pares al femenino; el número uno era símbolo de la razón; el número dos era la opinión; el tres representaba la armonía; el cuatro la justicia; el cinco significaba el matrimonio; el seis la creación; y así sucesivamente.
Todo este misticismo extravagante alrededor de los números llevó a los Pitagóricos a dar los primeros pasos en el desarrollo de la Teoría de los Números. Fueron los primeros en reconocer y estudiar a los números pares y a los impares, a los números primos y a los compuestos. Llamaron abundante, deficiente o perfecto según la suma de los divisores propios del número bajo estudio fuera mayor, menor o igual al propio número.
Sin dudas un punto alto en el estudio de los números por parte de los Pitagóricos fue el descubrimiento de un par de números distintos: 
A este par de números se los llama números amigos o amigables. El número más pequeño
Si bien el par de números amigos 
Regla de Thabit: Si 
son números primos, entonces 
Para 
pero no genera ningún otro par de números amigos para 
El conocimiento del primer par de números amigos 
Euler, como siempre, hace su aparación y revoluciona la búsqueda de pares de números amigos. Al momento de su interés en el tema, año 1737, solo tres pares se habían encontrado en el lapso de dos mil años. Luego, él solo, llevó la cuenta a 62!!!, descontados unos cuantos números que más tarde se domostró no eran amigables. Euler investigó cuando un par de números, con una estructura particular 
Regla de Euler: Si un número natural 
son números primos, entonces
Cuando 
El éxito de Euler en desarrollar un método sistemático para encontrar pares de números amigos, entusiasmó a muchos a iniciar nuevas búsquedas. Sin embargo el éxito de Euler fue tal que sólo cuatro nuevos pares se encontraron un siglo y medio después, contribuyendo a un total de 66 pares de números amigos hacia finales del Siglo XIX.
La aparición de las computadoras transformó la busqueda de pares de números amigos. Durante miles de años se encontraron poco más de un par de estos números, hoy en día se cuentan por millones, concretamente a la fecha hay 11 994 387 pares de números amigos. Desde 1985 Jan Munch Pedersen mantiene una página web llamada Known Amicable Pairs la que lista en orden creciente todos los pares de números amigos conocidos, junto con sus descubridores, año del descubrimiento y su factorización prima. La lista de números amigos comienza así:
1- Pythagoras (Año 500 AC) –
2- Paganini (Año 1866) –
3- Euler (Año 1747) –
No hay mucha sorpresa en los casos 1 y 3, pero ¿el segundo?. Durante miles de años, primeros los griegos, luego los árabes y matemáticos del calibre de Fermat, Descartes, Euler y muchos otros escudriñaron los cielos con sus sofisticados métodos matemáticos buscando números amigos, pero fracasaron en encontrar lo que yacía a sus pies, el segundo par más pequeño de estos números 
El par de números amigos más grande fue encontrado en 2005 y es 
Existen varias conjeturas sobre la estructura de los pares de números amigos que están pendientes de demostrar, para todos aquellos con hambre de inmortalidad matemática listamos tres de ellas:
1- Los pares de números amigos son infinitos.
2- Los miembros de un par de números amigos son ambos pares o ambos impares.
3- Los miembros de un par de números amigos impares son divisibles por tres.
(Este post es un resumen y traducción del artículo Friends in High Places de Roger Webster and Gareth Williams aparecido en el último número de Mathematical Spectrum, se puede bajar de internet desde aquí).
Referencia:
# Friends in High Places – Roger Webster and Gareth Williams – Mathematical Spectrum Volume 42 2009/2010 Number 2 pp 54-58.
(Esta entrada fue propuesta la segunda edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 15/03/2010 en el blog de Juan de Mairena).
Impresionante el detalle de información que brinda el buscador Wolfram Alpha sobre el terremoto (más bien los terremotos) en Chile, pareciera como si la Tierra se hubiera enojado feo con los chilenos.
Ingresar en el box de búsqueda del Wolfram-Alpha: earthquakes in Chile last 10 days el resultado es este:
La gráfica muestra todo temblor mayor a 4° de magnitud en la escala richter. Impresionante!!! como para que no quede duda de lo tremendo del asunto, el próximo cuadro lista los movimientos de más de 6° de magnitud, es increíble que todavía quede algo en pie.
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