Encontrando Divisores

Supongamos que nos piden listar los divisores de 24, éstos son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 un total de 8 divisores.

¿Se podrá determinar la cantidad de divisores de 24 sin tener que listarlos?

Para determinar este número primero se debe analizar la factorización de 24, y también los exponentes de los factores primos que la componen. Así luego agregamos la unidad al exponente de cada factor primo y multiplicamos los resultados. Los exponentes de los factores primos 2 y 3 en 24 son 3 y 1 respectivamente. Por lo que tenemos , que es la cantidad de divisores que tiene 24.

La generalización de este procedimiento, en lenguaje matemático, es la siguiente:

Sea donde las son diferentes números primos más grande que 1.

Así el número de divisores está dado por : .

Planteado el problema a la inversa, ¿cómo encontrar un número determinado, a partir del número de divisores dado?: supongamos que un dado número tiene 14 divisores. Aquí tenemos que , restando la unidad de cada factor obtenemos 1 y 6 que serán los exponentes a aplicar a cualquier número primo que querramos.

En general, para obtener el menor de los números con 14 divisores, se debe aplicar los exponentes a los números primos más pequeños, los números 2 y 3. Así tenemos que cualquier número de la forma donde y son primos mayores que la unidad, tienen también exactamente 14 divisores.

La determinación del mínimo número que tiene una dado cantidad de divisores no siempre es sencilla. Un ejemplo de ello es el caso en donde el número dado de divisores es 12. En este caso se puede expresar los exponentes son estonces 1 y 5, el número buscado es entonces . Pero 12 es igual también a los exponentes en este caso son 2 y 3, el número es ahora . Ambos números encontrados son mayores que 60 que también tiene 12 divisores. ¿Cómo encontrar una solución? El número 12 también se puede factorizar como , dando los exponentes 1, 1 y 2 así el número que obtenemos es .

Referencia:

# Recreations in the Theory of Numbers – Albert H. Beiler – Dover (1966).

Cubos=Cuadrados

Generalización de Liouville es el título de una entrada de este blog posteada el mes pasado. En ella se describe un método que permite obtener un conjunto de números que permita obtener la igualdad:

Hoy en Gaussianos me encontré una entrada titulada Cómo generar conjuntos CuCu, que trata este tema de una manera infinitamente más didactica y elegante que mi post. Hay una excelente demostración por inducción de la igualdad descripta así como un link a una demostración de porqué la generalización de Liouville permite obtener un conjunto de números cualquiera que cumpla dicha igualdad.

Gaussianos es de lo mejor que hay en cuanto a blogs matemáticos, sus posts están muy bien escritos, los temas son siempre interesantes, es un placer leer las entradas de este blog…100% recomendable.

Estoy leyendo…

Encontré en internet una copia de Recreations in the Theory of Numbers de Albert H. Beiler (Dover – 1966). Con un inglés elemental se puede leer y disfrutar sin problemas. El libro cubre lo básico de Teoría de Números desde un punto de vista recreativo, bien explicado, buenos ejemplos, detallando distintas técnicas para la resolución de problemas, contexto histórico, etc.

En el primer capítulo el autor plantea una serie de problemas para ejemplificar el contenido de la Teoría de Números, los dejo aquí planteados para el que se anime:

1- Encontrar los divisores, si los tiene, de 16000001.

2- Un lado de un triángulo rectágulo cualquiera mide 48 cm. Encontrar diez pares de números enteros que representen la medida de los otros dos lados del triángulo dado.

3- ¿Cuántos números enteros positivos hay menores que y sin un divisor común con 5929?

4- Encontrar el mínimo número formado sólo de tres y sietes de manera que este número y la suma de sus dígitos sean divisibles en 3 y en 7.

5- Encontrar tres númetos cuadrados en progresión aritmética. ¿Habrá cuatro de ellos?

6- Encontrar el mínimo número con exactamente 100 divisores (propios).

7- Mostrar que es siempre divisible en n si n es un númeto primo, pero nunca si n es un número compuesto.

8- Probar que cada número primo de la forma es expresable como la suma de dos enteros cuadrados en solo un única manera.

9- Encontrar números cada uno de los cuales sea igual a la suma de todos sus diferentes divisores (excluído el propio número, pero incluida la unidad).

10- Encontrar una fórmula general para los valores de x para los cuales es un número primo.

11- Probar que cada número par se puede representar como la suma de dos números primos.

12- Probar que es imposible para números enteros con n mayor que 2.

De los doce problemas planteados, hay tres que al momento de editarse el libro, año 1966, no habían sido resueltos. A la fecha, el problema 12, que no es otro que el Último Teorema de Fermat, fue demostrado en 1993 por el matemático inglés Andrew Wiles, por lo que pasó a llamarse Teorema de Fermat-Wiles.

Es interesante aprender la opinión de grandes matemáticos a través de la historia respecto de la Teoría de Números, sobre todo en dos aspectos: la valoración de la inutilidad de la Teoría de Números para cualquier aplicación práctica y la dualidad manifiesta en la simpleza de sus planteos junto a la dificultad de sus soluciones.

El matemático alemán Ernst Kummer consideraba su trabajo sobre los números ideales como el más importante ya que no estaba “manchado” por ninguna aplicación práctica.

Otro grande como David Hilbert expresaba: “En Teoría de Números, valoramos la simplicidad de sus fundamentos, la exactitud de su concepción y la puresa de sus verdades; la exaltamos como el modelo para otras ciencias, como la más profunda e inagotable fuente de conocimiento matemático, pródiga en incitaciones a la investigación en otras áreas de la matemática…además la Teoría de Números es independiente a los cambios de moda,  y en ella no vemos, cómo sucede en otras áreas del conocimiento, nociones o métodos en un momento con excesiva importancia,  y en  otro sufriendo un descuido inmerecido; en Teoría de Números el más antiguo de los problemas es usualmente actual hoy en día, como una genuina obra de arte del pasado.”

El inglés G.H. Hardy, comentaba al respecto: “La Teoría de Números Elemental debe ser uno de los mejores temas en la más temprana educación matemática. Demanda muy poco conocimiento previo; trata de asuntos tangibles y familiares; el proceso de razonamiento que emplea es simple, general y resumido; y es única entre las ciencias metemáticas en cuanto a su atractivo a la natural curiosidad humana. Un mes de enseñanza inteligente en Teoría de Números debe ser el doble de instructiva, el doble de útil, y al menos diez veces más divertida que la misma cantidad de cálculo para ingenieros”.

El matemático J.V. Unspensky en su Elementary Number Theory concluye: “¿Qué, entonces, obliga a los hombres a  dedicar tanto tiempo y esfuerzo en investigaciones aritméticas?… La respuesta está en que toda la belleza de esta ciencia se vuelve aparente sólo a aquellos que se sumergen profundamente en ella… Es natural que el estudio preliminar del tema [teoría de números] no sea muy interesante en si mismo como para apreciar los tesoros aritméticos que contiene. Esto es inevitable: antes de aprender a caminar uno debe aprender a gatear.”

Lamentablemente, la enseñanza de la matemática, está lejos siquiera de acercarse a todo lo expuesto y con suerte, de grandes, como es mi caso, descubrimos todo este mundo increíble, como consuelo queda agregar: “mejor tarde que nunca”.

Referencia:

# Recreations in the Theory of Numbers – Albert H. Beiler – Dover (1966).

(Se puede descargar el libro desde aquí)

Multiplicar por 999

Anoche mi pequeña hija encontró mi biblioteca y desparramó los libros a su alcance por toda la  casa. En tarea de recoger los libros, me encontré con un ejemplar de Aritmética Recreativa de Y.I. Perelman. Lo leí hace mucho, así que al volverlo a hojear fue como si fuera nuevo. Encontré la descripción de una interesante propiedad del número 999 cuando se lo multiplica por cualquier número de tres dígitos.

Cuando al número 999 se lo multiplica por otro cualquiera de tres cifras se obtiene un producto de seis cifras, con las siguientes características:

1- Las tres primeras cifras son el número multiplicado menos la unidad.

2- Las tres cifras restantes son las que sumadas a las tres primeras dan igual a 999.

Ejemplo:

Sea 573 hacemos    vemos que   y 

Sabiendo esta propiedad del 999 se podría calcular casi instantáneamente el producto de la multiplicación de un número de tres cifras por 999. ¿Cómo funciona esta propiedad?

Me encantó!!!.

Promedio

Sean A, B y C tres números tal que:

¿Cuál es el promedio de los tres números A,B y C?

Referencia:

# MAA MinuteMath

Actualización del 16/04/2010:

Sumamos  miembro a miembro las ecuaciones y resolvemos:

Para sacar el promedio de A, B y C debemos dividir en tres, y así obtenemos:

El promedio de los números A, B y C es 3.

Números Primos: Una fórmula para generarlos.

Sabido es que los números primos (números enteros solo divisibles en sí mismos y en la unidad) son los ladrillos  que forman al edificio matemático, lo que se manifiesta claramente en el El Teorema Fundamental de la Aritmética : todo número positivo se puede descomponer, de forma única, en su factores primos. Dada la importancia de los números primos, cabe la siguiente pregunta:

¿Existe alguna fórmula o procedimiento que permita obtener números primos?

Sí!!!, aunque sea  increíble, existe una  fórmula mediante la cual podemos obtener todos los números primos que querramos. Hmmm!!! … quiero ver:

Sean dos números cualquiera y , calculamos lo siguiente:

y luego:

Cualquiera sea el valor de y , el valor de que se obtenga de la última fórmula será siempre primo. Asimismo, cada número primo será un valor de para algún par de valores de y . Esta fórmula, créase o no, genera todos los números primos. Es fácil armar una planilla de cálculo excel con una lista de números primos generados de esta manera. Hasta aquí con este post ya tengo ganada la inmortalidad matemática.

Por desgracia para mi hambre de gloria, la realidad es que para la mayor parte de los valores de y encontramos que . Con un poco de paciencia otros números primos van apareciendo. Por ejemplo para y obtenemos ; para y resulta ; si y  obtenemos . Para obtener , hay que ser muy pero muy paciente, dado que no aparece hasta tratar con y .

Parece claro a esta altura, que esta forma de generar números primos no es muy eficiente que digamos, dado que  casi siempre el resultado de aplicar estas fórmulas será (si alguien se anima, que por favor me pase los valores de y para ). Quizás lo más importante de esta fórmula sea demostrar que los números primos son capaces de ser generados u obtenidos a partir de una fórmula, no obstante de manera ineficiente.

Es muy importante formular métodos eficientes para testear si cualquier número dado es o no un número primo. El método más simple y obvio es, dado un número, analizar los números más pequeños y chequear si éstos dividen exactamente o no al número bajo análisis (excepto el 1, que divide a todos), este tipo de test elemental se puede efectuar perfectamente con una PC mientras el número involucrado no sea muy grande, pero se vuelve totalmente ineficiente para números muy grandes de cientos y más dígitos.

Todos los test de primalidad que se utilizan hoy en día parten de la misma idea, la que se remonta al matemático aficionado del Siglo XVII, Pierre de Fermat, el cual mostró que si se toma un número que sea primo, con , entonces el número es exactamente divisible en . Para números muy grandes , es mucho más rápido y fácil de calcular el número y ver si es divisible en , que buscar factores de . Si no divide a este número, entonces con seguridad no es un número primo. Este test rápidamente nos dice si no es primo. Lamentablemente no se puede concluir tan rápido si divide a que entonces sea necesariamente primo. Probablemente lo sea, pero hay muchos números que no son primos y son divisibles siguiendo los pasos de este último test.

Volviendo a la fórmula planteada inicialmente, ¿de dónde sale? ¿cómo se obtiene?. Para ello hay que remontarse nuevamente al Siglo XVIII para revisar un resultado atribuido a un tal Sir John Wilson y denominado en su honor  Teorema de Wilson:

Para un número entero positivo , es un número primo si (1)

Ejemplo: sea , entonces ( o sea 7) es primo dado que .

Otras maneras de plantear el mismo teorema son las siguientes:

1) Si es un número primo, entonces

2) Si es primo entonces es factor de

Sucede con frecuencia, en la historia de las matemáticas, que los nombres asignados a las conjeturas, teoremas y principios olvidan a personajes que tuvieron la idea original o hicieron una contribución fundamental a los mismos. El Teorema de Wilson, en este sentido, no es una excepsión. Este teorema fue descubierto por un matemático hindú llamado Bhaskara en el siglo VII, luego explicado por Ibn al-Haytham en el año 1000 DC, el teorema era conocido por Leibniz un siglo antes de nacer Wilson, el inglés Edward Waring lo planteó por primera vez en una publicación matemática llamada  Meditationes Algebraicae y finalmente fue demostrado por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange en 1770, ¿cuál fue entonces el mérito de Wilson?.

Supongamos que se quiere obtener un número primo . Definimos , entonces por el Teorema de Wilson (1) es primo si . Esto significa que es divisible en , por lo que debe existir un número entero tal que , en la primera parte del procedimiento descripto  al comienzo, se da entonces que .

Ejemplo: Si , tenemos que y .

Pero ahora tenemos que:. Así la fórmula arroja cada número primo.

Si elegimos un número tal que no es primo, tenemos que: y, cualquiera sea el número que seleccionemos, . Así y obtendremos el número primo 2.

Esto explica porqué la fórmula entrega frecuentamente el valor .  Sin embargo, la fórmula dará todos valores primos y ningún otro, de manera muy ineficiente, cada vez que tanto como varíen.

Referencias:

# Prime Beef – Keith Devlin – Mathematical Spectrum Volume 18 1985/1986 Number 2 pp 33-34.

# Seconds of Prime Beef – Mathematical Spectrum Volume 19 1986/1987 Number 1 pp 19-20.

# Wilson’s Theorem – Encyclopedia Britannica Online (Consulta del 04/04/2010).

# Wilson’s Theorem – Wapedia (Accedido el 05/04/2010).

(Esta entrada se propone para la tercera edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 19/04/2010 en el blog Geometría Dinámica).

Problemas Imposibles

Los griegos, unos 400 años AC, se plantearon varios problemas dentro del campo de la geometría, algunos de los cuales bien podrían llamarse los problemas imposibles. De estos últimos, los tres más famasos son los siguientes:

1- Trisección del ángulo: dado un ángulo cualquiera, construir otro exactamente un tercio más grande que el dado.

2- Duplicación del cubo: dado un cubo de un volumen dado, econtrar un cubo que sea exactamente el doble del cubo dado.

3- Cuadratura del círculo: dado un círculo cualquiera, econtrar un cuadrado con la misma área al círculo dado.

Los tres problemas fueron resueltos. Ahora bien, si estos problemas son imposibles ¿cómo fueron resueltos?. La imposibilidad de los problemas surge del propio planteo. Los griegos, supuestamente Platón, fijaron como restricción, para la construcción de figuras geométricas, el uso de solamente regla (sin marcas) y compás. Para explicar en términos más formales esta restricción, se debe recordar los primeros tres postulados que Euclides nos dá en sus Elementos:

1- Entre dos puntos cualesquiera, existe una única línea recta.

2- Una línea recta puede exterderse indefinidamente.

3- Dado un punto y una longitud cualquiera, se puede construir un círculo centrado en dicho punto de radio igual a la longitud dada.

Estos tres postulados se corresponden a los usos posibles de la regla (sin marcas) y el compás: dibujar una línea recta que pase por dos puntos; extender indefinidamente la línea de un segmento dado; y dibujar un círculo alrededor de un punto dado con un radio determinado. Resolver los tres problemas planteados significa utilizar únicamente estas operaciones repetidamente un número finito de veces. La validez de las construcciones sólo se pueden probar utilizando estos postulados de geometría Euclídea.

De los tres problemas planteados, para mí el más interesante es el de la trisección del ángulo. Si bien es conocido que la trisección del ángulo es imposibe, no lo es tanto el porqué es imposible. La historia de esta demostración es bastante oscura. El autor fue un matemático francés llamado Pierre Laurent Wantzel, quién a pesar de haber demostrado un problema famoso durante un par de milenios, es práticamente desconocido. Su demostración apareció en 1937 como un artículo titulado “Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas” publicado en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este resultado nunca de reimprimió ni se tradujo al inglés, idioma universal para la divulgación del conocimiento. Posiblemente un motivo para la oscuridad de Wantzel y su demostración sea que la misma es inintelegible para un lector moderno. Versiones depuradas de la demostaración fueron publicadas por Felix Klein, L.E. Dickson, Robert C. Yates y Willard V.O. Quine.

Cómo explicamos inicialmente, para bosquejar una prueba de imposibilidad de la trisección del ángulo, es importante definir que podemos hacer con una regla sin marcas y un compás. Además de dibujar líneas y círculos, también se puede hacer aritmética. Supongamos que el largo de un segmento representa un número, manipulando  el compás y la regla se puede sumar y restar:

asimismo se puede multiplicar y dividir:

También se puede extraaer la raíz cuadrada. Esto último permite incluso acceder a ciertos números irracionales, raíces cuartas, octavas, etc. Esto es todo lo que se puede hacer con regla y compás. No existe manera de extraer raíces cúbicas y similares. Este último hecho es clave para la trisección del ángulo.

El procedimiento de trisección requiere tomar un ángulo y producir . Dado que el procedimiento debe funcionar con cualquier ángulo, se pude demostrar la imposibilidad de trisección con solo mostrar que uno de ellos no se puede trisecar. Supongamos un vértice con un ángulo de 60° al origen y un lado que corresponde a los valores positivos del eje x. Para trisecar este ángulo es necesario dibujar una línea inclinada 20° desde el eje x pasando por el origen.

Para dibujar cualquier linea con regla y compás se necesitan por lo menos dos puntos sobre dicha línea. En el caso que estamos analizando tenemos inicialmente un punto dado por el origen. Entonces todo lo que hay que hacer para completar la trisección es econtrar uno o más puntos sobre la línea de los 20° desde el origen. Esto parece fácil, pero la demostración de Wantzel nos dice que es imposible.

Buscamos el valor de x para el punto A, que triseca el ángulo de 60°. Su valor es igual al de la base de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a uno, que en este caso es igual al coseno de 20°. Utilizando la siguiente relación trigonométrica: , los valores para y reemplazando la expresión por u, llegamos a la siguiente expresión:

Para un ángulo de 60°, con la ecuación se transforma en la siguiente expresión:

Esta última ecuación es cúbica, lo que constituye la esencia del problema. Ningún proceso de suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada resolverá la ecuación y por ende encontrará el valor de u.

Conclusiones:

- Ningún punto sobre la línea de los 20°, excepto el origen, se puede alcanzar desde una línea de 60° utilizando únicamente regla (sin marcas) y compás. Este hecho engaña muchas veces la intuición de quién analiza el problema y es la fuente de todos los intentos y proclamaciones de falsas demostraciones de la trisección del ángulo.

- Cuando se habla de imposibilidad de trisecar un ángulo, se habla de los ángulos en general, de hecho existen infinidad de ángulos que si pueden trisecarse. Todos los ángulos que se puedan expresar en grados , con entero no divisible por 3 pueden trisecarse.

Referencias:

# Foolproof – Brian Hayes – American Scientist Volume 95 January-February 2007 pp 10-15.

(Este artículo es de lectura muy recomendable como todos los de Brian Hayes, trata sobre cuán importante es que las demostraciones matemáticas además de rigurosas, sean entendibles. Se puede bajar desde aquí.)

# A Brief History of Impossibility – Jeff Suzuki – Mathematics Magazine Volume 98 – February 2008 N° 1 pp 27-38.

(Espectacular artículo disponible desde el sitio de la MAA, su lectura es lo que motivó este post, se puede descargar desde aquí)

# Cómo trisecar un ángulo – Martín Gardner – Carnaval Matemático – Capítulo 19 pp 280-290 – Alianza Editorial (1984).

(El problema de la trisección del ángulo maravillosamente explicado por Martín Gardner)

# La insolubilidad de los tres problemas griegos – Richard Courant y Herbert Robbins – ¿Qué son las Matemáticas? – Capítulo 3 pp 165-191  – Fondo Cultura Económica (2003).

(Tratamiento completo de los problemas geométricos insolubles, con sus respectivas demostraciones, desde aquí se puede acceder a la versión en inglés).

Igualdades interesantes

Sea la siguiente suma:

Ahora elevamos al cuadrado cada sumando en amabos lados de la igualdad y vemos que la igualdad se mantiene:

Elevamos ahora al cubo y sigue la dándose la igualdad:

Probamos la potencia cuarta, se sigue manteniendo la igualdad:

Elevamos a la quinta, y si!!!, sigue la igualdad:

¿Qué pasará con la potencia sexta, se mantendrá la igualdad?

Referencia:

# Equal totals with different powers – Abbas Roohol Amini – Mathematical Spectrum 2009/2010 Volume 42 Number 2 pp 59.

Teselaciones

Hace poco revisando el número de septiembre de 1999 de la revista Investigación y Ciencia me encontré con la columna Juegos Matemáticos de Ian Stewart sobre la “teselación”, titulada “El arte de la teselación elegante” (The Art of Elegant Tiling).

Puesto a comprender exactamente el significado de “tesela” (Tile) y de la acción de “teselar” o también de lo que se denomina “teselado” (tiling o tessellation), encontré las siguientes definiciones:

Tesela (Tile – Tessellation): la define el diccionario como cada pieza cúbica que se utilizaba antiguamente para formar los pavimentos de mosaico. Se traduce  Tile como: “azulejo”, “loseta”, “mosaico”, “baldosa”, “losa”, “baldosín”, “teja”.

Teselar (Tiling – Tessellate): es la acción de cubrir con azulejos, teselas, etc. también se usa embaldosar, pavimentar.

Teselado o Teselación (Tiling – Tessellation): es el embaldosado propiamente dicho.

El artículo busca destacar la conexión entre las matemáticas y las artes a través del concepto de simetría (symmetry). Dicho concepto se aplica sin dificultad a cualquier forma artística que exhiba configuraciones repetitivas (repetitive patterns). El papel de empapelar (wallpaper), los tejidos (fabrics) y las teselas (tiles) son ejemplos clásicos que pueden alcanzar gran belleza artística.

La definición matemática de simetría es simple y a la vez sutil, se puede decir que la simetría de un diseño determinado es la transformación que lo deja sin cambio alguno. Por ejemplo:

- la “transformación”, aplicada a un cuadrado, que implica una rotación de 90 grados en torno a su centro produce otro cuadrado indistinguible del inicial;

- la “transformación” que implica una reflexión de derecha a izquierda deja (aparentemente) invariable a la figura humana.

Un diseño puede tener varios tipos de simetrías diferentes y la colección de todas ellas constituye su grupo de simetría.

Son muchos los tipos de teselaciones (tilings) y el tipo que atrae más interés de los matemáticos son las basadas en un retículo bidimensional (two-dimensional lattice). Antes de continuar voy a tratar de dar una definición lo más clara posible de retículo (lattice). El diccionario define retículo como un tejido en forma de red y reticular como adjetivo de una figura en forma de red. Asimismo la traducción de lattice es como verbo: enrejar, entretejer, entrelazar y como sustantivo: celosía, enrejado, red, rejilla.

El cristalógrafo E.S. Fedorov demostró en 1891 (para cristales planos) que los retículos en el plano se clasifican en 17 tipos distintos de simetrías:

Lo mismo vale para los motivos decorativos de tejidos, empapelados, etc. Para ver una simetría reticular en la configuración de los motivos de cualquier tejido, empapelado, etc, debemos verificar que el diseño se repita en dos direcciones independientes.

Ejemplo: una formación o arreglo (array) de azulejos (tiles) comunes en un baño. Las paredes de este imaginario baño son infinitamente grandes, por lo que la disposición de los motivos en cada azulejo se reproduce infinitamente. Seleccionamos un azulejo cualquiera y el motivo de dicho azulejo se repetirá en las direcciones horizontal, vertical y en las combinaciones de una y otra. Así si desplazamos el azulejo horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha un número de entero a lo ancho, y después otro número entero a lo alto hacia arriba o hacia abajo, encontraremos un mosaico idéntico. Así que la pauta se repite en dos direcciones distintas. En este caso se da que ambas direcciones son perpendiculares o forman un ángulo recto, pero esto no es un requerimiento general.

La existencia de esas dos direcciones mencionadas es a lo que nos referimos cuando hablamos de retículo (lattice). La simetría reticular resulta natural en los empapelados y en los tejidos, porque normalmente al ser fabricados, se forma un rollo de producto a lo largo del cual se repite una y otra vez el mismo motivo – impreso por un tambor giratorio o tejido por una máquina que repita una y otra vez un ciclo fijo (fixed loop)- .

La condición reticular (lattice condition) es menos natural en el caso de mosaicos y azulejos, los cuales se fabrican de a uno, pero proporcionan al artista un esquema fácil de seguir cuando los coloca sobre una superficie como el suelo o una pared. El retículo de azulejos cuadrados típico del baño , por ejemplo, tiene simetrías de rotación (rotacional symmetries) de 90 a 90 grados. Posee también simetrías axiales (reflectional symmetries) o simetrías de reflexión respecto de rectas verticales, horizontales y diagonales que pasen por el centro de los mosaicos, por un vértice o por el punto medio de cualquiera de sus lados. También es un retículo, un enlosado en panal (honeyconb tiling), formado por hexágonos regulares, aunque posea distintos tipos de simetrías, como la rotación en ángulo de 60 grados y sus múltiplos.

Una artista británica llamada Rosemary Grazebrook descubrió que una loseta o mosaico pentagonal (pentagonal tile) puede servir de pieza básica para multitud de motivos o disposiciones reticulares.

Una característica esencial es que la loseta tiene dos ángulos de 90 grados y tres de 120 grados, lo que permite poner las losetas en retículos tanto cuadrados como hexagonales, veamos un par de ejemplos:

Las Losetas o Mosaicos  coloreadas como se indica en esta figura, pueden formar una “Teselación Reticular” (Lattice Tiling), en este caso con hexágonos regulares.

En la figura anterior las Losetas base por sí solas forman una “Teselación Reticular” (Lattice Tiling).

Una loseta cuadrada (square tile) en cambio, no posee ángulos más que de 90 grados, por que solamente puede formar unos pocos retículos diferentes. Ensamblando cuatro de las losetas pentagonales de Grazebrook se puede construir un hexágono ancho y bajo, que tesela el plano como los ladrillos de una pared. Combinando losetas pentagonales con hexágonos regulares, se pueden conseguir  todos, menos uno, de los 17 tipos de simetría de los motivos reticulares.

Grazebrook introdujo dos sistemas distintos para colorear sus losetas pentagonales. Uno de ellos consiste en dividir la tesela en tres triángulos; se obtiene así el llamado conjunto Pentland. El otro consiste en dividir el pentágono en cuatro regiones: dos cuadrados, un cuadrilátero con forma de cometa y un pentágono más pequeño, se tiene así un conjunto Penthouse. Se puede dividir y colorear las losetas en muchas otras formas, pero estos dos conjuntos por sí solos bastan para generar una increíble cantidad de diseños. Los aquí expuestos estás protegidos por derechos de autor y los esquemas están registrados. Como ven se puede hacer algún dinero diseñando y pintando azulejos.

(El presente post es una adaptación y resumen del artículo “El arte de la teselación elegante” aparecido en la revista Investigación y Ciencia de Septiembre 1999 en la columna Juegos Matemáticos a cargo de Ian Stewart).