Teselaciones

Hace poco revisando el número de septiembre de 1999 de la revista Investigación y Ciencia me encontré con la columna Juegos Matemáticos de Ian Stewart sobre la “teselación”, titulada “El arte de la teselación elegante” (The Art of Elegant Tiling).

Puesto a comprender exactamente el significado de “tesela” (Tile) y de la acción de “teselar” o también de lo que se denomina “teselado” (tiling o tessellation), encontré las siguientes definiciones:

Tesela (Tile – Tessellation): la define el diccionario como cada pieza cúbica que se utilizaba antiguamente para formar los pavimentos de mosaico. Se traduce  Tile como: “azulejo”, “loseta”, “mosaico”, “baldosa”, “losa”, “baldosín”, “teja”.

Teselar (Tiling – Tessellate): es la acción de cubrir con azulejos, teselas, etc. también se usa embaldosar, pavimentar.

Teselado o Teselación (Tiling – Tessellation): es el embaldosado propiamente dicho.

El artículo busca destacar la conexión entre las matemáticas y las artes a través del concepto de simetría (symmetry). Dicho concepto se aplica sin dificultad a cualquier forma artística que exhiba configuraciones repetitivas (repetitive patterns). El papel de empapelar (wallpaper), los tejidos (fabrics) y las teselas (tiles) son ejemplos clásicos que pueden alcanzar gran belleza artística.

La definición matemática de simetría es simple y a la vez sutil, se puede decir que la simetría de un diseño determinado es la transformación que lo deja sin cambio alguno. Por ejemplo:

- la “transformación”, aplicada a un cuadrado, que implica una rotación de 90 grados en torno a su centro produce otro cuadrado indistinguible del inicial;

- la “transformación” que implica una reflexión de derecha a izquierda deja (aparentemente) invariable a la figura humana.

Un diseño puede tener varios tipos de simetrías diferentes y la colección de todas ellas constituye su grupo de simetría.

Son muchos los tipos de teselaciones (tilings) y el tipo que atrae más interés de los matemáticos son las basadas en un retículo bidimensional (two-dimensional lattice). Antes de continuar voy a tratar de dar una definición lo más clara posible de retículo (lattice). El diccionario define retículo como un tejido en forma de red y reticular como adjetivo de una figura en forma de red. Asimismo la traducción de lattice es como verbo: enrejar, entretejer, entrelazar y como sustantivo: celosía, enrejado, red, rejilla.

El cristalógrafo E.S. Fedorov demostró en 1891 (para cristales planos) que los retículos en el plano se clasifican en 17 tipos distintos de simetrías:

Lo mismo vale para los motivos decorativos de tejidos, empapelados, etc. Para ver una simetría reticular en la configuración de los motivos de cualquier tejido, empapelado, etc, debemos verificar que el diseño se repita en dos direcciones independientes.

Ejemplo: una formación o arreglo (array) de azulejos (tiles) comunes en un baño. Las paredes de este imaginario baño son infinitamente grandes, por lo que la disposición de los motivos en cada azulejo se reproduce infinitamente. Seleccionamos un azulejo cualquiera y el motivo de dicho azulejo se repetirá en las direcciones horizontal, vertical y en las combinaciones de una y otra. Así si desplazamos el azulejo horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha un número de entero a lo ancho, y después otro número entero a lo alto hacia arriba o hacia abajo, encontraremos un mosaico idéntico. Así que la pauta se repite en dos direcciones distintas. En este caso se da que ambas direcciones son perpendiculares o forman un ángulo recto, pero esto no es un requerimiento general.

La existencia de esas dos direcciones mencionadas es a lo que nos referimos cuando hablamos de retículo (lattice). La simetría reticular resulta natural en los empapelados y en los tejidos, porque normalmente al ser fabricados, se forma un rollo de producto a lo largo del cual se repite una y otra vez el mismo motivo – impreso por un tambor giratorio o tejido por una máquina que repita una y otra vez un ciclo fijo (fixed loop)- .

La condición reticular (lattice condition) es menos natural en el caso de mosaicos y azulejos, los cuales se fabrican de a uno, pero proporcionan al artista un esquema fácil de seguir cuando los coloca sobre una superficie como el suelo o una pared. El retículo de azulejos cuadrados típico del baño , por ejemplo, tiene simetrías de rotación (rotacional symmetries) de 90 a 90 grados. Posee también simetrías axiales (reflectional symmetries) o simetrías de reflexión respecto de rectas verticales, horizontales y diagonales que pasen por el centro de los mosaicos, por un vértice o por el punto medio de cualquiera de sus lados. También es un retículo, un enlosado en panal (honeyconb tiling), formado por hexágonos regulares, aunque posea distintos tipos de simetrías, como la rotación en ángulo de 60 grados y sus múltiplos.

Una artista británica llamada Rosemary Grazebrook descubrió que una loseta o mosaico pentagonal (pentagonal tile) puede servir de pieza básica para multitud de motivos o disposiciones reticulares.

Una característica esencial es que la loseta tiene dos ángulos de 90 grados y tres de 120 grados, lo que permite poner las losetas en retículos tanto cuadrados como hexagonales, veamos un par de ejemplos:

Las Losetas o Mosaicos  coloreadas como se indica en esta figura, pueden formar una “Teselación Reticular” (Lattice Tiling), en este caso con hexágonos regulares.

En la figura anterior las Losetas base por sí solas forman una “Teselación Reticular” (Lattice Tiling).

Una loseta cuadrada (square tile) en cambio, no posee ángulos más que de 90 grados, por que solamente puede formar unos pocos retículos diferentes. Ensamblando cuatro de las losetas pentagonales de Grazebrook se puede construir un hexágono ancho y bajo, que tesela el plano como los ladrillos de una pared. Combinando losetas pentagonales con hexágonos regulares, se pueden conseguir  todos, menos uno, de los 17 tipos de simetría de los motivos reticulares.

Grazebrook introdujo dos sistemas distintos para colorear sus losetas pentagonales. Uno de ellos consiste en dividir la tesela en tres triángulos; se obtiene así el llamado conjunto Pentland. El otro consiste en dividir el pentágono en cuatro regiones: dos cuadrados, un cuadrilátero con forma de cometa y un pentágono más pequeño, se tiene así un conjunto Penthouse. Se puede dividir y colorear las losetas en muchas otras formas, pero estos dos conjuntos por sí solos bastan para generar una increíble cantidad de diseños. Los aquí expuestos estás protegidos por derechos de autor y los esquemas están registrados. Como ven se puede hacer algún dinero diseñando y pintando azulejos.

(El presente post es una adaptación y resumen del artículo “El arte de la teselación elegante” aparecido en la revista Investigación y Ciencia de Septiembre 1999 en la columna Juegos Matemáticos a cargo de Ian Stewart).