Partiendo números

El número 3 se puede expresar como la suma de uno o más números naturales de cuatro formas diferentes, teniendo en cuenta el orden de los términos:

31+22+11+1+1

La pregunta que surge a continuación es:

¿ de cuántas formas se puede expresar el número n ?

Una forma muy simple de encarar el problema es, a partir de ejemplo dado, considerar al 3 y a cualquier número como una hilera de n unos (1) en fila, de la siguiente manera:

3              \longrightarrow 1 1 1

2+1        \longrightarrow 1 1|1

1+2         \longrightarrow 1|1 1

1+1+1   \longrightarrow 1|1|1

Analizando esta forma de expresar al número 3, vemos que el número de espacios interiores es n-1, o sea si n=3 los espacios interiores de la hilera de unos que forman al 3 es igual a 2. El mismo análisis le cabe a los separadores | utilizados para los unos según como expresemos al número 3.

Finalmente para representar al número 3 o al número n de la forma indicada, podemos o no insertar los separadores en los n-1 espacios interiores, por lo tanto hay 2^{n-1} formas de ubicar los separadores y al mismo tiempo la misma cantidad de maneras de expresar n.

Referencias:

# Mathematical Morsels – Ross Honsberger – The Mathematical Association of America  – 1978.

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