Una forma de multiplicar
- ¿Quieres saber acerca de mi útimo invento?.
- Acaso ¿tengo alternativa?.
- Es que descubrí una nueva manera de multiplicar dos números.
- Pero, si para eso con una calculadora elemental es suficiente.
- Digamos que quieres multiplicar 2 x 3, ¿si?.
- Me pasa todo el tiempo.
- Une los puntos (-2, 4) y (3, 9).
- ¿De donde salen esos puntos?.
- Son el resultado de (-a, a2) y (b, b2).
- OK.
- ¿Donde intersecta la linea al eje y?.
- ¡¡¡¡Epa!!!! ¿Siempre es así?.
Referencias:
# Wild about Math y think again!
(Esta entrada se propone para la VIII edición del Carnaval de Matemáticas a cargo en esta oportunidad del blog Los Matemáticos no son gente seria ).
La Criba de Sundaram
Muchos conocen la llamada Criba de Eratosthenes como un método que permite “filtrar” o “separar” números primos. No tan conocida es la llamada Criba de Sundaram, método desarrollado por un joven estudiante indio en 1934 llamado S.P. Sundaram.
Se construye una tabla de números cuya primera fila y columna es: 4, 7, 10, … el primer término es el número 4 y los siguientes siguen una progresión aritmética con una diferencia común igual a 3. En términos matemáticos el primer requisito para generar los números que componen la tabla está dado por: 
La propiedad que hace interesante esta tabla es la siguiente:
- Si
ocurre en la tabla, entonces
no es un número primo.
- Si
Verificamos con los cuatro primeros números naturales:
Parece que funciona la Criba de Sundaram.
Referencias:
# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 75.
División de Polígonos
Un granjero tiene una tierra de determinadas dimensiones con forma de un polígono convexo de n-lados. Quiere saber de cuántas maneras diferentes puede dividir su tierra en parcelas triangulares utilizando, para unir los vértices, separaciones diagonales.
Definimos entonces 
Así, se pueden ir determinando los próximos valores de la serie:
Considerando el caso general, según la siguiente ilustración tenemos que:
Uniendo los vértices 
Caso 1: 
Caso 2: 
Definimos 
Referencia:
# Catalan Numbers – Isaac Vun and Paul Belcher – Mathematical Spectrum Volume 30 Number 1 (1997/1998) pp 3-5.
(Entrada propuesta para la VII edición del Carnaval de Matemáticas organizado por el blog El Máquina de Turing).
Proble(mita)
La Mathematical Association of America (MAA) tiene en su página web un blog llamado MAA MinuteMath en el cual diariamente postean problemas matemáticos seleccionados de diferentes competencias matemáticas. La idea es tomarse unos minutos por día y ejercitar las neuronas trabajando en problemas no muy complicados. Hace unos días me encantó trabajar el siguiente problema:
Dados dos círculos de radio 3 y 8 respectivamente. Una recta tangente en común a ambos círculos toca a los mismos en los puntos C y D. Las lineas AB y CD se intersectan en el punto E, con el segmento AE = 5. ¿Cuál es el valor de CD?.
(Entrada propuesta para la VII edición del Carnaval de Matemáticas organizado por el blog El Máquina de Turing).
¿Qué tiene de especial el número 6174?
Dado el número 6174, si se reordenan los dígitos que lo componen de manera de formar el número más grande posible junto al número más pequeño que se pueda obtener, para luego restarlos, obtenemos:
7641 – 1467 = 6174
o sea llegamos al número con el cual comenzamos.
Ahora aplicamos el mismo procedimiento al número 4959, y obtenemos:
9954 – 4599 = 5355
paracería que no hay nada anormal en esto, aplicamos entonces el mismo procedimiento al número 5355 y así obtenemos:
5553 – 3555 = 1998
nuevamente nada que llame la atención, seguimos aplicando el mismo procedimiento a todos los resultados que vamos obteniendo en cada paso y llegamos a:
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
¡¡¡ epa !!!, el hecho es que no importa que número de cuatro cifras se utilice (cuyos dígitos no sean todos iguales – ejemplo 2222-) el procedimiento de reordenar los dígitos del número elegido de manera descendente y ascendente para luego restarlos, siempre se llega al númeto 6174, en no más de siete (7) pasos.
Referencia:
# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 73.
Números Primos
Los números primos son fascinantes. Definidos como los números naturales mayores que 1 sólo divisibles por sí mismos y por la unidad: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … y a menudo llamados los ladrillos (building blocks) que forman el edificio matemático, por el Teorema Fundamental de la Aritmética: todo número entero positivo se puede expresar de manera única como el producto de factores primos.
La idea de este post es listar algunos datos importantes respecto de los números primos, que siempre es útil tener a mano:
- La unidad o el número ” 1 ” no es un número primo (ni tampoco un número compuesto)
- Todos los números primos son impares, excepto el ” 2 “, llamado a veces el “primo” de los primos.
- Ninguna fórmula polinómica puede generar exclusivamente números primos.
- La sucesión de números primos no tiene fin, o sea los números primos son infinitos (demostración cortesía de un tal Euclides).
- A medida que se avanza en la sucesión de números primos el tamaño de los intervalos que los separan se hacen más grandes.
- Todo número natural menor que 10 (excepto por el 6) es potencia de un número primo.
- Más de la tercera parte de los números menores que 100 son potencias de números primos.
Y la lista de datos podría seguir y seguir, pero para dar un cierre mejor expresar todo lo anterior en forma de un poema de Helen Spalding en An Anthology of Modern Verse 1940-1960 – Let Us Prise Prime Numbers:
Ensalcemos los números primos
en hora buena,
junto a nuestros padres, que nos
engendraron;
pues su gloria, su don, su fuerza peculiar
es carecer de divisores, no tener
antepasados.
Entre las generaciones de productos
ellos son adanes.
Dispersos entre los ordinales,
¿quién su llegada podría predecir?
Siempre imprevista:
no ocupan plazas reservadas.
Y al pasar revista
en la procesión de cardinales,
se alzan hieráticos pontífices
uno a uno inescrutables,
uno a uno electos por sí mismos.
En el principio, donde el caos finaliza
y todo se reduce a cero,
llenan el paisaje, como los árboles el bosque.
Pero la media distancia ya los enrarece
y a lo lejos, hacia el infinito,
son tan escasos como erráticos cometas.
¡Salve, números primos,
extraños e improbables!
¡Qué por largo tiempo
los cazadores de fórmulas
han de evaporarse en abstracción,
consumirse pacientes hasta esqueletos.
Permanced rebeldes, molestos,
fenómenos irreductibles a sistema, a sucesión,
refractarios a pauta
o explicación.
Referencia:
(#) Las regularidades observadas en los números primos son reflejo de la ley fuerte de los pequeños números – Martin Gardner – Columna Juegos Matemáticos – Investigación y Ciencia N°53 Febrero 1981 pp 102-106.
Ley Fuerte de los Números Pequeños
Es muy común, al observar números pequeños, encontrar regularidades o patrones que llevan a conjeturar una regla o un teorema general. El matemático de la Universidad de Calgary, Richard Kenneth Guy, por muchos años buscó formular La Ley Fuerte de los Números Pequeños, la cual se puede expresar en dos simples frases:
Imposible saber con solo mirar
No hay suficientes números pequeños para satisfacer todas las demandas que se hacen de ellos
La matemática es una ciencia exacta basada en el método deductivo, sin embargo a la hora de investigar, como en toda ciencia, el arte está en saber formular las preguntas adecuadas y en reconocer pautas y regularidades (patterns). No existe un método o procedimiento, que permita generar en forma sistemática las preguntas correctas, ni reconocer si una pauta lleva a un teorema nuevo o es una simple coincidencia. Esto es muy evidente al observar números pequeños, los que generan múltiples patrones, regularidades y coincidencias. Muchas veces esas regularidades no llevan a ningún teorema o resultado relevante.
Se plantean aquí unos cuantos ejemplos, para ver los distintos casos e intentar resolverlos (al final las respuestas):
1) Dados los siguientes números:
31
331
3331
33331
333331
3333331
cada uno de lo números dados es primo, ¿lo será el siguiente y el que le sigue?.
2) Escribir los números enteros positivos, tachar número de por medio comenzando desde 1, hacer sumas parciales sin considerar los números tachados:
los números así generados son números cuadrados, ¿seguirá siendo así?.
3) Sea el siguiente arreglo de números:
2 + 1 = 3
(2 x 3) + 1 = 7
(2 x 3 x 5) + 1 = 31
(2 x 3 x 5 x 7) + 1 = 211
(2 x 3 x 5 x 7 x 11) + 1 = 2311
hasta aquí los números obtenidos son primos, ¿serán todos números primos los generados de esta forma?
4) Los siguientes círculos tienen n = 1,2,3,4,5 puntos. Cuando n>1 los puntos están unidos por cuerdas de forma que nunca tres ellas se cruzan en un mismo punto. Contar el número regiones en cada círculo y conjeturar el número de regiones del circulo con n=6.
5) A partir de los números generados en el punto 4) buscar el número primo inmediato posterior y restar el producto de los primos consecutivos, de la siguiente manera:
¿será siempre un número primo esta diferencia?.
Soluciones:
1) El siguiente número: 33333331 es primo, pero no lo es el subsiguiente: 333333331, este último es el resultado del producto de 17 x 19607843. Muy similar es el siguiente caso: 7, 37, 337, 3337, 33337, 333337, … se podría deducir una incipiente ley de formación que arrojará un número primo en el siguiente caso, pero 3333337 es compuesto ya que es expresable como el producto de tres números primos: 7 x 31 x 15361. En pautas similares, es casi seguro que la regla no generará de manera indefinida números primos.
2) Este caso es un ejemplo del llamado Proceso Moessner que efectivamente genera números cuadrados. Es más, si en lugar de tachar cada número por medio se tacha cada dos números las sumas parciales generan todos los números cubos; si se tacha cada tres números, las sumas parciales generan números de la cuarta potencia. Este proceso fue demostrado y generalizado por un matemático alemán llamado Ivan Paasche.
3) Del análisis de la evolución del número de regiones en cada círculo, según el número de puntos sobre el mismo, se podría concluir que para un círculo con seis puntos se generarán 32 regiones, pero: ¡¡no!!, en realidad para n=6 el número de regiones es 31. A continuación una tabla con el detalle de la cantidad de regiones según el número de círculos:
4) Este caso, no es otro que el esquema utilizado por Euclides para demostrar la infinitud de los números primos. El número resultante que sigue es el 30031 que es un número compuesto, resultado del producto: 59 x 509. Mark Templer ha demostrado que sumando una unidad al producto de los números primos consecutivos hasta p resulta un número primo para los cinco primeros primero, así como para p = 37, p = 379, p = 1019 y p = 1021, y la cantidad en cuestión no vuelve a ser un número primo para valores de p menores que 1032 (ver: “On the Primality of k! + 1 y 1*2*3*5*…*p + 1″ en Mathematics of Computation vol 34 n° 149 enero 1980 pp 303-304)
5) Un antropólogo de la Universidad de Cambridge llamado Reo F. Fortune, fue el que planteó esta pauta en los números primos pequeños, conjeturando que este método siempre genera números primos (Fortune’s Conjecture). Hasta la fecha no se ha demostrado si esto es así o si existe un contraejemplo, es opinión generalizada que efectivamente el esquema sólo genera números primos. A estos números se los conoce como Números Afortunados (Fortunate Prime).
Estos cinco ejemplos, no son más que una pequeña muestra de que no se pueden sacar rápidamente conclusiones acerca del comportamiento de una serie dada de números con solo mirar, en muchos casos la pauta no se cumple (ejemplos 1,3 y 4) en otros se cumple (ejemplo 2) y en otros no sabemos (ejemplo 5).
Referencias:
(#) The Strong Law of Small Numbers – Richard Guy – American Mathematical Monthly Vol 95 October 1988 pp 697-712.
(Este artículo es la base sobre el cual se redactó esta entrada, tiene 35 ejemplos como los descriptos, es muy interesante y su lectura recomendable. Se puede bajar desde aquí, hay un par de entradas, sobre este artículo en particular, en Wikipedia y en Wolfram MathWorld).
(#) Las regularidades observadas en los números primos son reflejo de la ley fuerte de los pequeños números – Martin Gardner – Columna Juegos Matemáticos – Investigación y Ciencia N°53 Febrero 1981 pp 102-106.
(Martin Gardner, utilizó el artículo de Richard Guy ocho años antes publicarse, como base de su columna de la revista Scientific American. La versión en inglés se publicó bajo el título: “Patterns in Primes are a Clue to the Strong Law of Small Numbers” en Diciembre de 1980 en el número 243 de Scientific American. Este artículo, ampliado y revisado, fue incluído con el título “Strong Laws of Small Primes” en el capítulo 12 del libro “Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications” del mismo autor – se puede bajar desde aquí una version del libro en archivo djvu- la versión en castellano de este último libro lo editó Gedisa Editorial en dos volúmenes y en el capítulo 12 de “Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas: Las últimas recreaciones I” se puede consultar “Las leyes fuertes de los primos pequeños”).
(Esta entrada se propone para la sexta edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 27/09/2010 en el Blog de Sangako).
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