Granjas y Depósitos

Las comunidades rurales normalmente se componen de varias granjas dispersas en una amplia zona rural (consideramos esta zona rural totalmente plana, sin montañas). Entre dos granjas cualquiera de la comunidad existe una distancia máxima de separación d, por ejemplo: 1 km. Se ha decidido construir un depósito o granero de uso compartido para almacenar la cosecha de todas las granjas. Este depósito debe construirse en una ubicación tal, que la distancia con la granja más lejana sea la mínima posible.

¿Cómo se puede cumplir con este requisito de construcción de la manera más efectiva posible?

Si el depósito se construye en los terrenos de una de las granjas, entonces ninguna otra granja estará a más de 1 km de distancia del mismo. Sin embargo, es posible mejorar esta construcción de manera de minimizar aún más la distancia de separación entre el depósito y la granja más lejana.

Supongamos que tenemos una comunidad rural formada por tres (03) granjas A,B,C ; y la mayor distancia que existe entre dos granjas cualquiera de ellas es de 1 km. Las alternativas de localización óptima del depósito dependerá de como estén ubicadas las granjas una respecto de las otras, por lo que se dan básicamente tres posibilidades:

(1) Las granjas se ubican de tal manera, que forman una línea recta:

En este caso, la ubicación óptima para el depósito es a mitad de camino de  las  granjas separadas por 1 km de distancia. Como resultado ninguna granja queda a más de 1/2 km de distancia del depósito.

(2) Las granjas se ubican formando un triángulo obtusángulo o sea formando un triángulo con uno de sus ángulos mayor a 90° (y menor a 180°):

Al igual que el caso anterior, la ubicación óptima para el depósito se encuentra a mitad de camino de las granjas separadas por 1 km de distancia. Ninguna granja estará a más de 1/2 km de distancia del depósito común.

(3) Finalmente, la alternativa restante se da cuando las tres (03) granjas A,B y C son vértices de un triángulo acutángulo o sea un triángulo cuyos ángulos son menores a 90°:

En este caso tenemos que:

A es el ángulo mayor del triángulo ABC, y 60° \le A \le 90°  con BC=1.

El radio R del circuncirculo, o sea el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo ABC, viene dado por: R= \frac{BC}{2SenA} = \frac{1}{2SenA}.

(Esta última  fórmula surge de conocer la medida de BC y al ser A el ángulo opuesto por Ley de los Senos el diámetro del circuncirculo del triángulo ABC es d=\frac{BC}{SenA} y su radio es la mitad).

Si  \sin60=\frac{\sqrt{3}}{2} y 60° \le A \le 90°  inferimos:

R= \frac{1}{2SenA}  =  \frac{1}{2{\frac{\sqrt{3}}{2}}}  = \frac{1}{\sqrt{3}}

Entonces ubicando el depósito en el circuncentro del triángulo acutángulo o agudo formado por las granjas ABC, o dicho de otra manera, en el punto por donde se cortan las tres mediatrices del triángulo formado y que a la vez es el centro del circuncirculo, podemos estar seguros que ninguna granja estará a más de \frac{1}{\sqrt{3}} o aproximadamente 0,5774... km de distancia del mismo.

Resumiendo, en una comunidad rural formada por tres granjas y cualquiera sea su disposición en el campo, siempre se puede construir un depósito en un punto desde el cual ninguna de las granjas estará alejada a más de \frac{1}{\sqrt{3}} km de distancia.

Lo sorprendente de este resultado, es que también es válido para una comunidad rural de n granjas. Esto fue demostrado por H.W.E. Jung en 1901, y puesto en términos abstractos el Teorema de Jung establece que: si un conjunto de n puntos en el plano es tal que la máxima distancia entre cualquiera dos puntos del conjunto es 1 , entonces existe otro punto cuya distancia desde ninguno de los n puntos dados excede a \frac{1}{\sqrt{3}}.

Referencias:

# An Extremal Problem in Elementary GeometryR.J. WebsterMathematical Spectrum Volumen 19 1968/1969 Number 1 pp 1.

En este artículo hay una demostración del Teorema de Jung basada en los conceptos de Espacio Euclídeo, Convexidad, Figuras Convexas.

# Números y Figuras – Hans Rademacher y Otto Toeplitz – Cap. 16 “El Círculo de Dispersión de un Conjunto Finito de Puntos” – Editorial Aguilar – 1968. (Es traducción de  The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur, y se puede descargar completo de aquí).

Este fantástico librito dedica todo un capítulo a la descripción y demostración del Teorema de Jung.

# MathWorld tiene una entrada sobre el Teorema de Jung.

# Wikipedia también tiene una breve descripción del Teorema de Jung.

(Este post se propuso para la 1° Edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 15/02/2010 en el blog Tito Eliatron Dixit.)

3 comentarios

  1. Hola, si esta es la entrada que va a participar en el Carnaval de Matemáticas, te agradecería que dejaras constancia de ello en la propia entrada mediante un link a la web del Carnaval. Gracias.

  2. Muchas gracias, sobre todo, por la labor de divulgar las matemáticas

  3. […] Apuntes Matemáticos Lecturas, comentarios, traducciones, problemas, explicaciones y todo lo relacionado a las matemáticas desde el punto de vista de un aficionado « Granjas y Depósitos […]

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