Autocine

Al igual que en el post anterior, seguimos explorando como aplicar conceptos e ideas geométricas sencillas en problemas de localización, o sea  como determinar lugares o ubicaciones óptimas.

El propietario de un autocine, se hizo asesorar profesionalmente respecto del ángulo óptimo \theta (theta) en el cual la pantalla AB debería presentarte a los espectadores. Recibió entonces, un informe el cual definía como la mejor ubicación en su autocine, al punto V directamente en frente de la pantalla, según ilustra el siguiente diagrama:

El propietario, interesado en poder cobrar un precio diferencial por esta ubicación privelegiada a más de un cliente, quiere saber si existen otros puntos, como U, desde el cual la pantalla subtiende o abarca el mismo ángulo \theta.

La respuesta es que todos los puntos sobre el círculo que pasa por los tres puntos A, B y V,  son ubicaciones desde las cuales los espectadores tendrán el mismo ángulo \theta de visión hacia la pantalla. Esto se debe al siguiente teorema:

Teorema 1: Un ángulo inscrito en un círculo es medido por la mitad del arco interceptado.

En otras palabras; un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que sostiene o abarca el mismo arco. Esto se puede ver claramente en la siguiente figura:

El teorema se puede demostrar a partir del análisis de cualquiera de tres casos posibles. Haciendo click en la figura anterior se accede a la demostración del caso 2, el caso 1 se puede ver aquí y el caso 3 aquí.

(Algunas definiciones de circunferencia y sus elementos se puenden ver en este apunte así como también para definiciones de ángulo inscrito y arco chequear aquí).

Referencia:

# Excursions in Geometry – C. Stanley Ogilvy – Oxford University Press 1969.

(Este post es un resumen y traducción libre elaborado de la primera parte del capitulo 1 de Excursions in Geometry el cual se puede consultar en su totalidad en GoogleBooks aqui en formato de archivo djvu aquí).


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