Lámpara hiperbólica

Muchos tienen en sus casas esas lámparas con pantalla  que se usan en los living-rooms o en la mesas de luz de las habitaciones, que al estar encedidas emanan un cono de luz hacia arriba y otro hacia abajo, los cuales forman sobre la pared dos  figuras con forma de hipérbole.

Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:

– Se define como origen al filamento del foco o bombilla de la lámpara.

– Los ejes x e y forman el plano horizontal con el eje x paralelo a la pared y el eje y perpendicular a la pared.

– El eje z es el eje vértical.

Para desarrollar una descripción matemática de las figuras proyectadas por la lámpara sobre la pared, utilizando este sistema de coordenadas, es útil considerar a la luz que se sale por los extremos superior e inferior de la lámpara, como los círculos de dos conos simétricos respecto del eje z con un origen común situado en el filamento del foco.  Los dos conos de luz no son iguales e intersectan la pared en y=D. El siguiente diagrama ejemplifica la idea:

La ecuación \displaystyle (1) es la ecuación general para un par de conos circulares, simétricos respecto del eje z, con punto en común al origen. Aquí R es el radio de los conos cuando \displaystyle z=\pm A (\displaystyle A es la distancia vertical desde el centro de la bombilla de luz hacia el circulo superior de la lámpara y hacia el círculo inferior de la misma).

\displaystyle\frac{z^2}{A^2}=\frac{x^2+y^2}{R^2}      \displaystyle (1)

\displaystyle\frac {z^2}{(DA/R)^2}-\frac{x^2}{D^2}=1  \displaystyle (2)

Las líneas formadas por la intersección de estos conos (la luz que sale de lámpara) con el plano (la pared) localizado en \displaystyle y=D, generan las dos ramas de la hipérbola, definidas por la ecuación \displaystyle (2).

Los parámetros tanto del cono de luz superior como inferior, están dados en la descripción geométrica del problema y son los siguientes:

Cono Superior (\displaystyle A=A_t, \displaystyle R=R_t).

Cono Inferior (\displaystyle A=A_b, \displaystyle R=R_b).

Sustituyendo estos parámetros en la ecuación \displaystyle (2) y resolviendo \displaystyle z se obtienen las fórmulas para la luz reflejada por la lámpara, tanto por su extremo superior como por el inferior.

\displaystyle z_{superior}=\frac{A_t}{R_t}\sqrt{x^2+D^2}  \displaystyle (3)

\displaystyle z_{inferior}=-\frac{A_b}{R_b}\sqrt{x^2+D^2}  \displaystyle (4)

Tomadas las medidas experimentales versus lo calculado por las ecuaciones \displaystyle (3) y \displaystyle (4) se puede armar una planilla de cálculo, graficar los mismos y analizar la presición de las ecuaciones para replicar el fenómeno estudiado. En este caso consideramos los siguiente valores para los parámetros \displaystyle D=22, \displaystyle A_t=14, \displaystyle R_t=15, \displaystyle A_b=12 y \displaystyle A_t=20 y obtenemos el siguiente gráfico:

Referencias:

(1) The Shape of Lamp Shade Shadows – Kenneth E. Horst – The Physics Teacher Vol 39 (March 2001) pp 139.

(2) Hyperbolic Light – entrada del 19/02/2009 del  blog 360.

Esta entrada se propuso para la cuarta edición del Carnaval de Física que tiene como anfitrión a rtfm.es.

2 comentarios

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