Amistad entre Números

Los Pitagóricos cosideraban a los números naturales como las llaves que abrían las puertas del Universo, lo cual los llevó a desarrollar toda una mística alrededor de los mismos, adjudicándoles diversas cualidades. Asi, los números impares representaban al sexo masculino y los números pares al femenino; el número uno era símbolo de la razón; el número dos era la opinión; el tres representaba la armonía; el cuatro la justicia; el cinco significaba el matrimonio; el seis la creación; y así sucesivamente.

Todo este misticismo extravagante alrededor de los números llevó a los Pitagóricos a dar los primeros pasos en el desarrollo de la Teoría de los Números. Fueron los primeros en reconocer y estudiar a los números pares y a los  impares, a los números primos y a los compuestos. Llamaron abundante, deficiente o perfecto según la suma de los divisores propios del número bajo estudio fuera mayor, menor o igual al propio número.

Sin dudas un punto alto en el estudio de los números por parte de los Pitagóricos fue el descubrimiento de un par de números distintos: \displaystyle 220 y \displaystyle 284 cada uno de los cuales es el resultado de la suma de los divisores propios del otro:

\displaystyle 220 \displaystyle = \displaystyle 1+2+4+71+142

\displaystyle 284 \displaystyle = \displaystyle 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110

A este par de números se los llama números amigos o amigables. El número más pequeño \displaystyle 220 es abundante y el más grande \displaystyle 284 es dificiente, lo que constituye un resultado verdadero para cualquier par de números amigos. Para el misticismo numérico, \displaystyle 220 y \displaystyle 284, cada uno compuesto por una parte del otro, simbolizan la amistad perfecta.

Si bien el par de números amigos \displaystyle (220 : 284) era conocido por los griegos, un nuevo par de números con esta característica recién aparace hacia el siglo IX. La primera contribución seria al estudio de los números amigos la hace un matemático árabe llamado Thabit ibn Qurra (826-901), quién propone la siguiente regla:

Regla de Thabit: Si \displaystyle n es un número natural tal que los siguientes números

\displaystyle p=3 (2)^n-1; \displaystyle q=3 (2)^{n+1}-1; \displaystyle r=9 (2)^{2n+1}-1

son números primos, entonces \displaystyle 2^{n+1}pq y \displaystyle 2^{n+1}r forman un par de números amigos.

Para \displaystyle n=1,3,6 la Regla de Thabit genera el primer, segundo y tercer par conocido de números amigos, estos son:

\displaystyle 2^5.5.11=220 ; \displaystyle 284=2^2.71

\displaystyle 2^4.23.47=17 296 ; \displaystyle 18416=2^4.1151

\displaystyle 2^7.191.383=9 363 584 ; \displaystyle 94 37056=2^7.73 727

pero no genera ningún otro par de números amigos para \displaystyle n\le 191 600.

El conocimiento del primer par de números amigos \displaystyle (220 : 284) y su rol en el misticismo numérico llega a Europa via los árabes y hacia el año 1550 dicho par de números ya habían aparecido en trabajos de Chuquet, Stifel, Cardano y Tartaglia. Sin embargo la Regla de Thabit y sus resultados eran totalmente desconocidos. Entonces es cuando tanto Fermat como Descartes comienzan la búsqueda de pares de números amigos, y ambos redescubren la Regla de Thabit, y en cartas a Mersenne cada uno declara el descubrimiento de un nuevo par: Fermat \displaystyle (17 296 : 18 416) en 1636 y Descartes \displaystyle (9 363 584 : 9 437 056) en 1638.

Euler, como siempre, hace su aparación y revoluciona la búsqueda de pares de números amigos. Al momento de su interés en el tema, año 1737, solo tres pares se habían encontrado en el lapso de dos mil años. Luego, él solo, llevó la cuenta a  62!!!, descontados unos cuantos números que más tarde se domostró no eran amigables. Euler investigó cuando un par de números, con una estructura particular \displaystyle (apq, ars), donde \displaystyle p, q, r, s son números primos distintos entre sí y no son divisores de \displaystyle a, son amigables. Este análisis le llevó a encontrar su par más pequeño: \displaystyle (2620 : 2924)=(2^2.5.131 : 2^2.17.43).

Regla de Euler: Si un número natural \displaystyle k\displaystyle n con \displaystyle k\le n son tales que los tres números:

\displaystyle p=(2^k+1)2^{n+1-k}-1;

\displaystyle q=(2^k+1)2^{n+1}-1;

\displaystyle r=(2^k +1)^22^{2n+2-k}-1

son números primos, entonces \displaystyle 2^{n+1}pq y \displaystyle 2^{n+1}r forman un par de números amigos.

Cuando \displaystyle k=1 se obtiene la Regla de Thabit. Solo se conocen dos pares \displaystyle (k,n) que satisface las condiciones de la Regla de Euler, ellos son \displaystyle (7,7) y \displaystyle (11,39). El primer caso genera un par de números amigos en donde cada miembro tiene 20 dígitos, en el segundo caso cada miembro del par generado tiene 40 dígitos.

El éxito de Euler en desarrollar un método sistemático para encontrar pares de números amigos, entusiasmó a muchos a iniciar nuevas búsquedas. Sin embargo el éxito de Euler fue tal que sólo cuatro nuevos pares se encontraron un siglo y medio después, contribuyendo a un total de 66 pares de números amigos hacia finales del Siglo XIX.

La aparición de las computadoras transformó la busqueda de pares de números amigos. Durante miles de años se encontraron poco más de un par de estos números, hoy en día se cuentan por millones, concretamente a la fecha hay 11 994 387 pares de números amigos. Desde 1985 Jan Munch Pedersen mantiene una página web llamada Known Amicable Pairs la que lista en orden creciente todos los pares de números amigos conocidos, junto con sus descubridores, año del descubrimiento y su factorización prima. La lista de números amigos comienza así:

1- Pythagoras (Año 500 AC) – \displaystyle (220=2^2.5.11 : 284=2^2.71)

2- Paganini (Año 1866) – \displaystyle (1184=2^5.37 : 1210=2.5.11^2)

3- Euler (Año 1747) – \displaystyle (2620=2^2.5.131 : 2924=2^2.17.43)

No hay mucha sorpresa en los casos 1 y 3, pero ¿el segundo?. Durante miles de años, primeros los griegos, luego los árabes y matemáticos del calibre de Fermat, Descartes, Euler y muchos otros escudriñaron los cielos con sus sofisticados métodos matemáticos buscando números amigos, pero fracasaron en encontrar lo que yacía a sus pies, el segundo par más pequeño de estos números \displaystyle (1184 : 1210). ¿Quién encontró este par de números, asegurándose un lugar en el salón de la fama de la teoría de los números? Nicolo Paganini, un estudiante de secundaria italiano de 16 años.

El par de números amigos más grande fue encontrado en 2005 y es \displaystyle (17 60 ... : 1826 ...) donde “…” representa en ambos miembros 24069 dígitos.

Existen varias conjeturas sobre la estructura de los pares de números amigos que están pendientes de demostrar, para todos aquellos con hambre de inmortalidad matemática listamos tres de ellas:

1- Los pares de números amigos son infinitos.

2- Los miembros de un par de números amigos son ambos pares o ambos impares.

3- Los miembros de un par de números amigos impares son divisibles por tres.

(Este post es un resumen y traducción del artículo Friends in High Places de Roger Webster and Gareth Williams aparecido en el último número de Mathematical Spectrum, se puede bajar de internet desde aquí).

Referencia:

# Friends in High Places – Roger Webster and Gareth Williams – Mathematical Spectrum Volume 42 2009/2010 Number 2 pp 54-58.

(Esta entrada fue propuesta la segunda edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 15/03/2010 en el blog de Juan de Mairena).

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