Potencias de 3

Es interesante descomponer el resultado de sucesivas potencias de 3, en una suma de números enteros consecutivos:

3^0=1          3^0=1

3^1=3          3^1=1+2

3^2=9          3^2=2+3+4

3^3=27       3^3=2+3+4+5+6+7

3^4=81        3^4=5+6+7+8+...+13

3^5=243     3^5=5+6+7+8+...+22

3^6=729     3^6=14+15+16+...+40

3^7=2187   3^7=14+15+16+...+67

3^8=6561   3^8=41+42+43+...+121

¿Alguien se anima con 3^9 y 3^{10}? ¿Cuál es la regla de formación de la suma? ¿Hay una fórmula general?

Referencia:

# Powers of 3 – L.B. Dutta – Mathematical Spectrum Volume 17 1984/1985 Number 1 pp 15.

5 comentarios

  1. Aplicando la lógica que se puede obtener de los resultados que expones diría que:

    3^9 = 41+ 42 + 43 + … + 202
    3^10 = 122 + 123 + 124 + … + 364

    – Cada potencia impar repite termino de comienzo de la suma con la potencia par inferior, duplicando el número de términos de la suma.

    – La cantidad de términos de la suma de cada potencia par X es igual a la 3^(X-1)

    – El término de comienzo de la suma es 2 para la primera potencia par, siguiendo para cada término par la siguiente ecuación: TERMINO_INICIO_SUMA_POTENCIA_X = 1 + 3^(X/2 – 1) + 3^((X-1)/2 – 1) + 3^((X-2)/2 – 1) + … + 3^(2/2 – 1)

    Saludos!

  2. La descomposición en una suma de números enteros consecutivos no es única ¿cual es el criterio? Porwue 9=2+3+4=4+5 ¿el que empieza con el mínimo sumando?

  3. La idea de la descomposición de la suma es inciar desde el menor sumando posible y desde ahí sumar los números consecutivos necesarios para obtener el resultado de la potencia n de 3.

  4. Tambien 3^9 = 338+339+340+…+391
    Tambien 3^9 = 1085+1086+1087+ … 1102

  5. no entiendo nada

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