Generalización de Liouville

Conocida es la siguiente igualdad para todo número entero positivo:

\displaystyle1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

El matemático francés Joseph Liouville (1809-1882) descubrió un interesante procedimiento por el cual se puede generar cualquier conjunto de números enteros positivos con la misma propiedad: la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma.

Primero elegimos un número entero positivo N, digamos el 6. Luego determinados los divisores de N; para N=6 ellos son (1, 2, 3, 6). Finalmente se cuentan la cantidad de divisores que tienen los divisores mencionados, en este caso tenemos que 1 tiene uno solo divisor, 2 tiene dos divisores, lo mismo que 3 y 6 tiene  cuatro divisores, así obtenemos el siguiente conjunto de números (1, 2, 2, 4) que satisfacen la propiedad buscada:

\displaystyle1^3+2^3+2^3+4^3=1+8+8+64=81=9^2=(1+2+2+4)^2

Referencia:

# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 72.

2 comentarios

  1. […] Publicado el Abril 25, 2010 por cosas Generalización de Liouville es el título de una entrada de este blog posteada el mes pasado. En ella se describe un método […]

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