Generalización de Liouville

Conocida es la siguiente igualdad para todo número entero positivo:

\displaystyle1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

El matemático francés Joseph Liouville (1809-1882) descubrió un interesante procedimiento por el cual se puede generar cualquier conjunto de números enteros positivos con la misma propiedad: la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma.

Primero elegimos un número entero positivo N, digamos el 6. Luego determinados los divisores de N; para N=6 ellos son (1, 2, 3, 6). Finalmente se cuentan la cantidad de divisores que tienen los divisores mencionados, en este caso tenemos que 1 tiene uno solo divisor, 2 tiene dos divisores, lo mismo que 3 y 6 tiene  cuatro divisores, así obtenemos el siguiente conjunto de números (1, 2, 2, 4) que satisfacen la propiedad buscada:

\displaystyle1^3+2^3+2^3+4^3=1+8+8+64=81=9^2=(1+2+2+4)^2

Referencia:

# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 72.

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3 comentarios

  1. […] Publicado el Abril 25, 2010 por cosas Generalización de Liouville es el título de una entrada de este blog posteada el mes pasado. En ella se describe un método […]

    1. I hate being diminishing about other people’s work, so I should perhaps point out that Alan Dean “Leia Hater” Foster did give us a nice atmospheric setting, a memorable confrontation with Vader (artistically at least) which was good enough to borrow and use as the “Cave scene” in TESB, and actually let Leia swing a light saber. Not much as far as defense of his work goes, but again, it’s tough being critical of other people’s work because… well… they might read this and hate us.

  2. […] Publicado el Abril 25, 2010 por cosas Generalización de Liouville es el título de una entrada de este blog posteada el mes pasado. En ella se describe un método […]

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