Problemas Imposibles

Los griegos, unos 400 años AC, se plantearon varios problemas dentro del campo de la geometría, algunos de los cuales bien podrían llamarse los problemas imposibles. De estos últimos, los tres más famasos son los siguientes:

1- Trisección del ángulo: dado un ángulo cualquiera, construir otro exactamente un tercio más grande que el dado.

2- Duplicación del cubo: dado un cubo de un volumen dado, econtrar un cubo que sea exactamente el doble del cubo dado.

3- Cuadratura del círculo: dado un círculo cualquiera, econtrar un cuadrado con la misma área al círculo dado.

Los tres problemas fueron resueltos. Ahora bien, si estos problemas son imposibles ¿cómo fueron resueltos?. La imposibilidad de los problemas surge del propio planteo. Los griegos, supuestamente Platón, fijaron como restricción, para la construcción de figuras geométricas, el uso de solamente regla (sin marcas) y compás. Para explicar en términos más formales esta restricción, se debe recordar los primeros tres postulados que Euclides nos dá en sus Elementos:

1- Entre dos puntos cualesquiera, existe una única línea recta.

2- Una línea recta puede exterderse indefinidamente.

3- Dado un punto y una longitud cualquiera, se puede construir un círculo centrado en dicho punto de radio igual a la longitud dada.

Estos tres postulados se corresponden a los usos posibles de la regla (sin marcas) y el compás: dibujar una línea recta que pase por dos puntos; extender indefinidamente la línea de un segmento dado; y dibujar un círculo alrededor de un punto dado con un radio determinado. Resolver los tres problemas planteados significa utilizar únicamente estas operaciones repetidamente un número finito de veces. La validez de las construcciones sólo se pueden probar utilizando estos postulados de geometría Euclídea.

De los tres problemas planteados, para mí el más interesante es el de la trisección del ángulo. Si bien es conocido que la trisección del ángulo es imposibe, no lo es tanto el porqué es imposible. La historia de esta demostración es bastante oscura. El autor fue un matemático francés llamado Pierre Laurent Wantzel, quién a pesar de haber demostrado un problema famoso durante un par de milenios, es práticamente desconocido. Su demostración apareció en 1937 como un artículo titulado “Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas” publicado en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este resultado nunca de reimprimió ni se tradujo al inglés, idioma universal para la divulgación del conocimiento. Posiblemente un motivo para la oscuridad de Wantzel y su demostración sea que la misma es inintelegible para un lector moderno. Versiones depuradas de la demostaración fueron publicadas por Felix Klein, L.E. Dickson, Robert C. Yates y Willard V.O. Quine.

Cómo explicamos inicialmente, para bosquejar una prueba de imposibilidad de la trisección del ángulo, es importante definir que podemos hacer con una regla sin marcas y un compás. Además de dibujar líneas y círculos, también se puede hacer aritmética. Supongamos que el largo de un segmento representa un número, manipulando  el compás y la regla se puede sumar y restar:

asimismo se puede multiplicar y dividir:

También se puede extraaer la raíz cuadrada. Esto último permite incluso acceder a ciertos números irracionales, raíces cuartas, octavas, etc. Esto es todo lo que se puede hacer con regla y compás. No existe manera de extraer raíces cúbicas y similares. Este último hecho es clave para la trisección del ángulo.

El procedimiento de trisección requiere tomar un ángulo \displaystyle \theta y producir \displaystyle \frac{\theta}{3}. Dado que el procedimiento debe funcionar con cualquier ángulo, se pude demostrar la imposibilidad de trisección con solo mostrar que uno de ellos no se puede trisecar. Supongamos un vértice con un ángulo de 60° al origen y un lado que corresponde a los valores positivos del eje x. Para trisecar este ángulo es necesario dibujar una línea inclinada 20° desde el eje x pasando por el origen.

Para dibujar cualquier linea con regla y compás se necesitan por lo menos dos puntos sobre dicha línea. En el caso que estamos analizando tenemos inicialmente un punto dado por el origen. Entonces todo lo que hay que hacer para completar la trisección es econtrar uno o más puntos sobre la línea de los 20° desde el origen. Esto parece fácil, pero la demostración de Wantzel nos dice que es imposible.

Buscamos el valor de x para el punto A, que triseca el ángulo de 60°. Su valor es igual al de la base de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a uno, que en este caso es igual al coseno de 20°. Utilizando la siguiente relación trigonométrica: \displaystyle \cos\theta=4cos^3\theta-3cos\theta, los valores para \displaystyle \frac{\theta}{3} y reemplazando la expresión \displaystyle \frac{\theta}{3} por u, llegamos a la siguiente expresión:

\displaystyle cos\theta=4u^3-3u

Para un ángulo de 60°, con cos \theta=\frac{1}{2} la ecuación se transforma en la siguiente expresión:

\displaystyle8u^3-6u=1

Esta última ecuación es cúbica, lo que constituye la esencia del problema. Ningún proceso de suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada resolverá la ecuación y por ende encontrará el valor de u.

Conclusiones:

– Ningún punto sobre la línea de los 20°, excepto el origen, se puede alcanzar desde una línea de 60° utilizando únicamente regla (sin marcas) y compás. Este hecho engaña muchas veces la intuición de quién analiza el problema y es la fuente de todos los intentos y proclamaciones de falsas demostraciones de la trisección del ángulo.

– Cuando se habla de imposibilidad de trisecar un ángulo, se habla de los ángulos en general, de hecho existen infinidad de ángulos que si pueden trisecarse. Todos los ángulos que se puedan expresar en grados \displaystyle \frac{360}{n}, con \displaystyle n entero no divisible por 3 pueden trisecarse.

Referencias:

# Foolproof – Brian Hayes – American Scientist Volume 95 January-February 2007 pp 10-15.

(Este artículo es de lectura muy recomendable como todos los de Brian Hayes, trata sobre cuán importante es que las demostraciones matemáticas además de rigurosas, sean entendibles. Se puede bajar desde aquí.)

# A Brief History of Impossibility – Jeff Suzuki – Mathematics Magazine Volume 98 – February 2008 N° 1 pp 27-38.

(Espectacular artículo disponible desde el sitio de la MAA, su lectura es lo que motivó este post, se puede descargar desde aquí)

# Cómo trisecar un ángulo – Martín Gardner – Carnaval Matemático – Capítulo 19 pp 280-290 – Alianza Editorial (1984).

(El problema de la trisección del ángulo maravillosamente explicado por Martín Gardner)

# La insolubilidad de los tres problemas griegos – Richard Courant y Herbert Robbins – ¿Qué son las Matemáticas? – Capítulo 3 pp 165-191  – Fondo Cultura Económica (2003).

(Tratamiento completo de los problemas geométricos insolubles, con sus respectivas demostraciones, desde aquí se puede acceder a la versión en inglés).

Una respuesta

  1. […] This post was mentioned on Twitter by Tito Eliatron. Tito Eliatron said: Problemas Imposibles http://ff.im/-iUDDp […]

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