Encontrando Divisores

Supongamos que nos piden listar los divisores de 24, éstos son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 un total de 8 divisores.

¿Se podrá determinar la cantidad de divisores de 24 sin tener que listarlos?

Para determinar este número primero se debe analizar la factorización de 24, y también los exponentes de los factores primos que la componen. Así 24=2^3.3 luego agregamos la unidad al exponente de cada factor primo y multiplicamos los resultados. Los exponentes de los factores primos 2 y 3 en 24 son 3 y 1 respectivamente. Por lo que tenemos (3+1)(1+1)=8, que es la cantidad de divisores que tiene 24.

La generalización de este procedimiento, en lenguaje matemático, es la siguiente:

Sea N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n} donde las p son diferentes números primos más grande que 1.

Así el número de divisores está dado por : (a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1).

Planteado el problema a la inversa, ¿cómo encontrar un número determinado, a partir del número de divisores dado?: supongamos que un dado número tiene 14 divisores. Aquí tenemos que 14=2.7, restando la unidad de cada factor obtenemos 1 y 6 que serán los exponentes a aplicar a cualquier número primo que querramos.

En general, para obtener el menor de los números con 14 divisores, se debe aplicar los exponentes a los números primos más pequeños, los números 2 y 3. Así tenemos que 2^6.3^1=192 cualquier número de la forma p^6.q donde p y q son primos mayores que la unidad, tienen también exactamente 14 divisores.

La determinación del mínimo número que tiene una dado cantidad de divisores no siempre es sencilla. Un ejemplo de ello es el caso en donde el número dado de divisores es 12. En este caso se puede expresar 12=2.6 los exponentes son estonces 1 y 5, el número buscado es entonces 2^5.3=96. Pero 12 es igual también a 3.4 los exponentes en este caso son 2 y 3, el número es ahora 2^3.3^2=72. Ambos números encontrados son mayores que 60 que también tiene 12 divisores. ¿Cómo encontrar una solución? El número 12 también se puede factorizar como 2.2.3=12, dando los exponentes 1, 1 y 2 así el número que obtenemos es 2^2.3.5=60.

Referencia:

# Recreations in the Theory of Numbers – Albert H. Beiler – Dover (1966).

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