Ley Fuerte de los Números Pequeños

Es muy común, al observar números pequeños, encontrar regularidades o patrones que llevan a conjeturar una regla o un teorema general. El matemático de la Universidad de Calgary, Richard Kenneth Guy, por muchos años buscó formular La Ley Fuerte de los Números Pequeños, la cual se puede expresar en dos simples frases:

Imposible saber con solo mirar

No hay suficientes números pequeños para satisfacer todas las demandas que se hacen de ellos

La matemática es una ciencia exacta basada en el método deductivo, sin embargo a la hora de investigar, como en toda ciencia, el arte está en saber formular las preguntas adecuadas y en reconocer pautas y regularidades (patterns). No existe un método o procedimiento, que permita generar en forma sistemática las preguntas correctas, ni reconocer si una pauta lleva a un teorema nuevo o es una simple coincidencia. Esto es muy evidente al observar números pequeños, los que generan múltiples patrones, regularidades y coincidencias. Muchas veces esas regularidades no llevan a ningún teorema o resultado relevante.

Se plantean aquí unos cuantos ejemplos, para ver los distintos casos e  intentar resolverlos (al final las respuestas):

1) Dados los siguientes números:

31

331

3331

33331

333331

3333331

cada uno de lo números dados es primo, ¿lo será el siguiente y el que le sigue?.

2) Escribir los números enteros positivos, tachar número de por medio comenzando desde 1, hacer  sumas  parciales sin considerar los números tachados:


los números así generados son números cuadrados, ¿seguirá siendo así?.

3) Sea el siguiente arreglo de números:

2 + 1 = 3

(2 x 3) + 1 = 7

(2 x 3 x 5) + 1 = 31

(2 x 3 x 5 x 7) + 1 = 211

(2 x 3 x 5 x 7 x 11) + 1 = 2311

hasta aquí los números obtenidos son primos, ¿serán todos números primos los generados de esta forma?

4) Los siguientes círculos tienen n = 1,2,3,4,5 puntos. Cuando n>1 los puntos están unidos por cuerdas de forma que nunca tres ellas se cruzan en un mismo punto. Contar el número regiones en cada círculo y conjeturar el número de regiones del circulo con n=6.

5) A partir de los números generados en el punto 4) buscar el número primo inmediato posterior y restar el producto de los primos consecutivos, de la siguiente manera:

¿será siempre un número primo esta diferencia?.

Soluciones:

1) El siguiente número: 33333331 es primo, pero no lo es el subsiguiente: 333333331, este último es el resultado del producto de 17 x 19607843. Muy similar es el siguiente caso: 7, 37, 337, 3337, 33337, 333337, … se podría deducir una incipiente ley de formación que arrojará un número primo en el siguiente caso, pero 3333337 es compuesto ya que es expresable como el producto de tres números primos: 7 x 31 x 15361. En pautas similares, es casi seguro que la regla no generará de manera indefinida números primos.

2) Este caso es un ejemplo del llamado Proceso Moessner que efectivamente genera números cuadrados. Es más, si en lugar de tachar cada número por medio se tacha cada dos números las sumas parciales generan todos los números cubos; si se tacha cada tres números, las sumas parciales generan números de la cuarta potencia. Este proceso fue demostrado y generalizado por un matemático alemán llamado Ivan Paasche.

3) Del análisis de la evolución del número de regiones en cada círculo, según el número de puntos sobre el mismo, se podría concluir que para un círculo con seis  puntos se generarán 32 regiones, pero: ¡¡no!!, en realidad para n=6 el número de regiones es 31. A continuación una tabla con el detalle de la cantidad de regiones según el número de círculos:


4) Este caso, no es otro que el esquema utilizado por Euclides para demostrar la infinitud de los números primos. El número resultante que sigue es el 30031 que es un número compuesto, resultado del producto: 59 x 509. Mark Templer ha demostrado que sumando una unidad al producto de los números primos consecutivos hasta p resulta un número primo para los cinco primeros primero, así como para p = 37, p = 379, p = 1019 y  p = 1021, y la cantidad en cuestión no vuelve a ser un número primo para valores de p menores que 1032 (ver: “On the Primality of k! + 1 y 1*2*3*5*…*p + 1” en Mathematics of Computation vol 34 n° 149 enero 1980 pp 303-304)

5) Un antropólogo de la Universidad de Cambridge llamado Reo F. Fortune, fue el que planteó esta pauta en los números primos pequeños, conjeturando que este método siempre genera números primos (Fortune’s Conjecture). Hasta la fecha no se ha demostrado si esto es así o si existe un contraejemplo, es opinión generalizada que efectivamente el esquema sólo genera números primos. A estos números se los conoce como Números Afortunados (Fortunate Prime).

Estos cinco ejemplos, no son más que  una pequeña muestra  de que no se pueden sacar rápidamente conclusiones acerca del  comportamiento de una serie dada de números con solo mirar, en muchos casos la pauta no se cumple (ejemplos 1,3 y 4) en otros se cumple (ejemplo 2) y en otros no sabemos (ejemplo 5).

Referencias:

(#) The Strong Law of Small Numbers – Richard Guy – American Mathematical Monthly Vol 95 October 1988 pp 697-712.

(Este artículo es la base sobre el cual se redactó esta entrada, tiene 35 ejemplos como los descriptos, es muy interesante y su lectura recomendable. Se puede bajar desde aquí, hay un par de entradas, sobre este artículo en particular, en Wikipedia y en Wolfram MathWorld).

(#) Las regularidades observadas en los números primos son reflejo de la ley fuerte de los pequeños números – Martin Gardner – Columna Juegos Matemáticos – Investigación y Ciencia N°53 Febrero 1981 pp 102-106.

(Martin Gardner, utilizó  el artículo de Richard Guy ocho años antes publicarse, como base de su columna de la revista Scientific American. La versión en inglés se publicó bajo el título: “Patterns in Primes are a Clue to the Strong Law of Small Numbers” en Diciembre de 1980 en el número 243 de Scientific American. Este artículo, ampliado y revisado, fue incluído con el título “Strong Laws of Small Primes” en el capítulo 12 del libro “Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications” del mismo autor – se puede bajar desde aquí una version del libro en archivo djvu- la versión en castellano de este último libro lo editó Gedisa Editorial en dos volúmenes y en el capítulo 12 de “Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas: Las últimas recreaciones I” se puede consultar “Las leyes fuertes de los primos pequeños”).

(Esta entrada se propone para la sexta edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 27/09/2010 en el Blog de Sangako).

4 comentarios

  1. […] matemáticos: La ley fuerte de los números pequeños. Nos explican la Ley fuerte de los números pequeños así como algunos ejemplos para comprenderlo […]

  2. Hola quería aclarar que en el caso de los puntos y las regiones vale eso siempre y cuando los polígonos no sean regulares, por ejemplo, el que hice yo es el caso del hexágono, y cuando lo hago regular me quedan 30 regiones. Saludos!😀

    1. Hola Ximena, buen punto el que haces, tengo material para desarrollar más en profundidad este tema, el cual espero poder plasmar en el blog en algún momento.
      Saludos.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: