La Criba de Sundaram

Muchos conocen la llamada Criba de Eratosthenes como un método que permite “filtrar” o “separar” números primos. No tan conocida es la llamada Criba de Sundaram, método desarrollado por un joven estudiante indio en 1934 llamado S.P. Sundaram.

Se construye una tabla de números cuya primera fila y columna es:  4, 7, 10, … el primer término es el número 4 y los siguientes siguen una progresión aritmética con una diferencia común igual a 3. En términos matemáticos el primer requisito para generar los números que componen la tabla está dado por:  a_n=4+(n-1)3 aquí la diferencia d es igual a tres. En las filas siguientes la diferencia común va cambiando tomando solo valores impares o sea: 3, 5, 7, 9, 11, …, entonces el segundo requisito para la construcción de la tabla está dado por a_n=4+(n-1)d con d=3,5,7,9,11,...:

\mathbb\;     \begin{matrix}       4 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 25 & ... \\       7 & 12 & 17 & 22 & 27 & 32 & 37 & 42 & ... \\      10 & 17 & 24 & 31 & 38 & 45 & 52 & 59 & ... \\      13 & 22 & 31 & 40 & 49 & 58 & 67 & 76 & ... \\      16 & 27 & 38 & 49 & 60 & 71 & 82 & 93 & ... \\      ...     \end{matrix}

La propiedad que hace interesante esta tabla es la siguiente:

  • Si N ocurre en la tabla, entonces 2N+1 no es un número primo.
  • Si N no ocurre en la tabla, entonces 2N+1 es un número primo.

Verificamos con los cuatro primeros números naturales:

N=1 , no figura en la tabla, entonces 2\times 1 + 1=3 número primo.

N=2, no figura en la tabla, entonces 2 \times 2 +1=5 número primo.

N=3, no figura en la tabla, entonces 2 \times 3 +1=7 número primo.

N=4, si figura en la tabla, entonces 2 \times 4+1=9 no es un número primo.

Parece que funciona la Criba de Sundaram.

Referencias:

# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 75.

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