El Pequeño Teorema de Fermat – Una demostración directa y simple

En una carta a Bernard Frenicle de Bessy in 1640, el gran teórico de los números francés Pierre de Fermat propuso el siguiente teorema (en realidad no era un teorema propiamente dicho sino más bien una conjetura):

Si $\displaystyle \mathit{\mathbf {p}}$ es un número primo, entonces para cada número $\displaystyle \mathit{\mathbf {a}}$ el número $\displaystyle \mathit{\mathbf {a^p-a}}$ es divisible en $\displaystyle \mathit{\mathbf {p}}$ .

Ejemplo: Tomamos $\displaystyle p=23$ un número primo, entonces $\displaystyle a^p-a$ es divisible en $\displaystyle p$ sea $\displaystyle a$ un número entero cualquiera (positivo, negativo o cero).

Fermat sostenía que tenía una demostración del teorema, pero según le cuenta a Frenicle de Bessy, esta era demasiado extensa para incluirla en la carta. El primero en demostrar el teorema fue Gottfried Leibniz en un manuscrito en 1683 que no llegó a publicar. La primera demostración publicada, casi cien años después, es de Leonhard Euler, quien en 1736 la presentó en un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio.

Hasta los inicios del siglo XX este teorema era conocido como «teorema de Fermat» , en 1913 el matemático Kurt Hensel en su libro Zahlentheorie lo rebautiza como «pequeño teorema de Fermat» tal como se conoce actualmente.

Si bien parace que demostrar este teorema requiere de una matemática avanzada, es sorprendente encontrar que puede demostrarse de manera sencilla y directa utilizando nada más que inducción matemática y el teorema del binomio.

A continuación el desarrollo la demostración:

(1) Sea $\displaystyle p$ un número primo:

Si $\displaystyle a=0$ $\longrightarrow$ $\displaystyle 0^p-0=0$ divisible en $\displaystyle p$
Si $\displaystyle a=1$ $\longrightarrow$ $\displaystyle 1^p-1=0$ divisible en $\displaystyle p$

(2) Suponemos que si para todos los valores positivos de $\displaystyle a$ tenemos que $\displaystyle a^p-a$ es divisible en $\displaystyle p$ por inducción matemática la hipótesis es válida también para $\displaystyle a+1$ , entonces tenemos que:

$\displaystyle a^p-a$ es divisible en $\displaystyle p$
$\displaystyle (a+1)^p-(a+1)$ es divisible en $\displaystyle p$

Por Teorema del Binomio sabemos que:

$\displaystyle (a+1)^p = a^p+ \binom{p}{1} a^{p-1}+ \binom{p}{2} a^{p-2}+...+\binom{p}{p-1} a+1$

Hacemos pasaje de términos y obtenemos:

$\displaystyle (a+1)^p-a^p-1 = \binom{p}{1} a^{p-1}+ \binom{p}{2} a^{p-2}+...+\binom{p}{p-1} a$

$\displaystyle (a+1)^p-(a^p+1) = \binom{p}{1} a^{p-1}+ \binom{p}{2} a^{p-2}+...+\binom{p}{p-1} a$ (1)

En el lado derecho de la ecuación (1) encontramos que cada coeficiente $\displaystyle \binom{p}{k}$ con $\displaystyle k=1,2,3,...,p-1$ es divisible en $\displaystyle p$ . Por la propia definición de $\displaystyle \binom{p}{k}$ tenemos que:

$\displaystyle \binom{p}{k}k!=p(p-1)(p-2)...(p-k-1)$ aquí $\displaystyle p$ divide la parte derecha de la ecuación. Para todos los coeficientes de la expresión, $\displaystyle k$ es un valor menor a $\displaystyle p$ , entoces el factor primo $\displaystyle p$ no ocurre en el producto $\displaystyle k!$ , por lo tanto $\displaystyle p$ divide a $\displaystyle \binom{p}{k}$ .

Entonces como $\displaystyle p$ divide a cada coeficiente del lado derecho de la ecuación (1), debe dividir también a la expresión completa del lado derecho y consecuentemente divide también el lado izquierdo $\displaystyle \longrightarrow (a+1)^p-(a^p+1)$ .

A partir de la hipótesis inductiva que $\displaystyle p$ divide a $\displaystyle a^p-a$ , tenemos que:

$\displaystyle [(a+1)^p-a^p-1]+[a^p-a]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+1)^p-\not{a^p} -1+\not{a^p} -a$

$\displaystyle [(a+1)^p-a^p-1]+[a^p-a]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathbf {(a+1)^p-(a+1)}$

Por lo tanto por inducción matemática la hipótesis es valida para todos los valores positivos de $\displaystyle a$ .

(3) La demostración se completa considerando los valores negativos de $\displaystyle a$ . Entonces definimos a los valores negativos de $\displaystyle a$ como $\displaystyle\mathbf {-a}$ .

– Si $\displaystyle p$ es igual a $\displaystyle 2$ , tenemos que:

$\displaystyle (-a)^p-(-a)=(-a)^p+a=a^2+a=\mathbf{a(a+1)}$

Los factores $\displaystyle\mathbf {a}$ y $\displaystyle\mathbf {(a+1)}$ son consecutivos, entonces uno de ellos es par y su producto divisible en $\displaystyle 2$ .

– Si $\displaystyle p$ es impar:

$\displaystyle (-a)^p-(-a)=-a^p+a=\mathbf{-(a^p-a)}$

Sabemos que si $\displaystyle a$ es positivo divide a $\displaystyle (a^p-a)$ , por lo tanto tambien divide a $\displaystyle -(a^p-a)$ .

$\displaystyle \mathbf{Q.E.D}$ (quod erat demonstrandum).

Notas:

(1) Este post es una traducción y resumen de parte del capitulo 1 del libro Mathematical Gems (ver referencia) y forma parte de una serie de cinco posts a publicar sobre el tema.

(2) El Pequeño Teorema de Fermat se puede enunciar de diferentes maneras:

Si $\displaystyle p$ es un número primo, entonces $\displaystyle p$ divide a $\displaystyle a^{p-1}-1$ para cada número entero $\displaystyle a$ coprimo con $\displaystyle p$ .
Si $\displaystyle p$ es un número primo, entonces, para cada número natural $\displaystyle a$ , $\displaystyle a^p \equiv a$ (mod $\displaystyle p$ ).
Si $\displaystyle p$ es un número primo, entonces, para cada número natural $\displaystyle a$ coprimo con $\displaystyle p$ , $\displaystyle a^{p-1} \equiv 1$ (mod $\displaystyle p$ ).

(3) Se dice que dos números $\displaystyle\mathbf a$ y $\displaystyle\mathbf b$ son números primos entre sí ( coprimos – coprime – o primos relativos – relatively prime – ), si no tienen ningún factor primo en común, o sea no tienen otro divisor común más que 1 o -1.

(4) En un post anterior «Números Primos: Una fórmula para generarlos» explicamos como utilizar el pequeño teorema de Fermat como test de primalidad, o sea un test para definir si un determinado número es primo o compuesto.

Referencias:

# Mathematical Gems I – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1973 – (Colección: The Dolcialni Mathematical Expositions Vol. 1) – Chapter 1 – pp 1-3.

Maravilloso libro, lleno de gemas matemáticas como su título así lo indica. Todo lo que escribió Ross Honsberger es un placer de leer y trabajar al mismo tiempo. Casi todos sus libros estan colgados en alguna parte de internet y se puede acceder a ellos.

# Pequeño Teorema de Fermat – Wikipedia (consultado 07/05/2014).

# Fermat´s Little Theorem – Wolfram Math World.

10 comentarios

Un antiguo Teorema Chino | Apuntes Matemáticos May 20, 2014 en 7:56 am|Responder

[…] Post N° 1: El Pequeño Teorema de Fermat – Una demostración directa y simple. […]
Angel febrero 5, 2015 en 2:03 pm|Responder

Hola, no entiendo la parte que dice
«En el lado derecho de la ecuación (1) encontramos que cada coeficiente \displaystyle \binom{p}{k} con \displaystyle k=1,2,3,…,p-1 es divisible en \displaystyle p»
Por qué serían divisibles en p?
1. Digger May 20, 2017 en 2:33 pm|Responder
  
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2. http://goanalyze.info/canarias7.es May 31, 2017 en 6:15 am|Responder
  
  Non, nous n’y mettons pas de fromage ni d’Ã©pinards. Nous faisons mijoter les lÃ©gumes dans du bouillon de poulet puis nous ajoutons du lait.Le mÃ©lange est excellent… et c’est moins riche sans fromage Qu’est-ce que des mini-cornettes?
javier May 22, 2016 en 6:02 pm|Responder

Alguien sabe por que todo primo elevado al cuadrado menos la unidad es divisible por 3?
1. javier May 30, 2016 en 2:23 pm|Responder
  
  Mas en general, todo primo excepto 2 o 3 elevado al cuadrado menos uno es divisible por 24
  1. javier julio 14, 2016 en 7:47 pm
    
    Olvidenlo, esto no solo le ocurre a lo primos mayores que tres, sino a todos los numeros de la forma 6n+/-1
mambiverdad agosto 29, 2016 en 9:40 am|Responder

Reblogueó esto en mambiverdady comentado:
mi amigo iremildo ramírez vinent, de guantánamo, dice tener una solución más sencilla…
Absolutamente … Pseudoprimo | Apuntes Matemáticos septiembre 18, 2016 en 12:02 pm|Responder

[…] Post N° 1: El Pequeño Teorema de Fermat – Una demostración directa y simple. […]
juan marzo 27, 2018 en 10:34 am|Responder

yo amo las matemáticas , y yo tengo una duda ¿ cual es la relación de Ferman y el método inductivo matemático .