Absolutamente … Pseudoprimo

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Sabemos que un número compuesto se dice “pseudoprimo” si divide la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{2^n-2}}, lo cual no es otra cosa que un caso especial del llamado Pequeño Teorema de Fermat.

Si un número compuesto \displaystyle\mathit{\mathbf{n}} divide la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{3^n-3}}, o a la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{4^n-4}}, o a \displaystyle\mathit{\mathbf{5^n-5}}, etc podemos decir que dicho número tiene la “propiedad de la pseudoprimalidad“.

El próximo paso consiste en plantear el caso general: un número compuesto que divida a \displaystyle\mathit{\mathbf{2^n-2}}\displaystyle\mathit{\mathbf{3^n-3}}\displaystyle\mathit{\mathbf{4^n-4}}\displaystyle\mathit{\mathbf{a^n-a}} para cada número entero \displaystyle\mathit{\mathbf{a}}. En este caso estamos en presencia de lo que podríamos denominar un “número pseudoprimo absoluto“.

Cabe preguntarse si este número pseudoprimo absoluto existe realmente, y la respuesta es sí!!. El más pequeño de los números pseudoprimos absolutos es el 561, o sea el número 561 es un número compuesto que divide la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a}} para cualquier valor de \displaystyle\mathit{\mathbf{a}}. Esto es relativamente fácil de demostrar a partir del Pequeño Teorema de Fermat, de la siguiente manera:

(1) La descomposición del número 561 en sus factores primos es la siguiente: 3 x 11 x 17; necesitamos entonces demostrar que \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a}} es divisible en cada uno de los factores primos de 561.

(2) Analizamos primero la divisibilidad en el factor 3:

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=a[(a^2)^{280}-(1^2)^{280}]}}

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=a[(a^2-1) (.....)]}}

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=(a^3-a) (.....)}}

Al ser un número primo por el Pequeño Teorema de Fermat divide a la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{a^3-a}} por lo tanto también divide a \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a}}.

(3) Analizamos la divisibilidad en el factor 11:

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=a[(a^{10})^{56}-(1^{10})^{56}]}}

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=a[(a^{10}-1) (.....)]}}

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=(a^{11}-a) (.....)}}

Al ser 11 un número primo por el Pequeño Teorema de Fermat divide a la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{11}-a}} por lo tanto también divide a \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a}}.

(4) Finalmente analizamos la divisibilidad en el factor 17:

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=a[(a^{16})^{35}-(1^{16})^{35}]}}

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=a[(a^{16}-1) (.....)]}}

\displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a=a(a^{560}-1)=(a^{17}-a) (.....)}}

Al ser 17 un número primo por el Pequeño Teorema de Fermat divide a la expresión \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{17}-a}} por lo tanto también divide a \displaystyle\mathit{\mathbf{a^{561}-a}}.

Otros números pseudoprimos absolutos son:

2.821 = 7 x 13 x 31     ;     10.585 = 5 x 29 x 73     ;     15.841 = 7 x 31 x 73

Al día de hoy no se sabe si existen infinitos números pseudoprimos absolutos.

Notas:

(1) Este es post es una traducción y resumen de parte del capitulo 1 del libro Mathematical Gems (ver referencia) y es el tercer post de una serie de cinco a publicar sobre el tema.

Serie Teoría de Números:

Post N° 1:  El Pequeño Teorema de Fermat – Una demostración directa y simple.

Post Nº 2: Un antiguo Problema Chino.

Referencias:

 # Mathematical Gems I – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1973 – (Colección: The Dolcialni Mathematical Expositions Vol. 1) – Chapter 1 – pp 4-5.

Maravilloso libro, lleno de gemas matemáticas como su título así lo indica. Todo lo que escribió Ross Honsberger es un placer de leer y trabajar al mismo tiempo. Casi todos sus libros están colgados en alguna parte de internet y se puede acceder a ellos.

 

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