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Teselaciones: Lecturas Recomendadas

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Uno de los posts más leídos de este blog es uno que escribí sobre Teselaciones, hay mucho material sobre el tema en la web, pero los siguientes artículos son excelentes para profundizar en el tema, aquí van:

# Teselaciones – Federico Ardila y Richard Stanley.

Artículo muy completo sobre el tema de Teselaciones, el artículo está basado en una presentación que hicieron los autores en la Clay Public Lecture en Julio 2004. Se puede bajar desde aquí. El mismo artículo luego publicado en inglés en el número de Diciembre 2010 de la Mathematical Intelligencer se puede consultar aquí.

# The Fascination of Tiling – Doris Schattschneider – Leonardo Vol 25 N° 2/3 pp 341-348 1992.

Excelente artículo de una matemática especialista en el tema y en la obra de M.C. Escher. Un pantallazo general del tema, con numerosos ejemplos. Artículo muy bien escrito, con un inglés básico se lee de corrido. Se puede bajar desde aquí.

# Tiling Rectangles with Polyominoes – Solomon Golomb – Mathematical Intelligencer Vol 18 N° 2 pp 38-47 1996.

El matemático Salomon Golomb fue de alguna forma el creador de los poliminos o poliominos, en este artículo analiza las diferentes variantes que surgen al querer teselar o cubrir el plano (un rectágulo) con poliominos de la manera más eficiente posible, o sea con el mínimo número posible de un n-poliomino dado. El artículo está escrito en un inglés no muy técnico y es fácil de seguir. Se puede bajar desde aquí.

# Mosaicos de Polígonos Convexos – Martin Gardner – Viajes por el Tiempo y Otras Perplejidades Matemáticas – Capítulo 12.

Como no podía ser de otra manera, el genio divulgativo de Martin Gardner trató el tema de las teselaciones extensamente, el capítulo 12 del libro mencionado es de lo más detallado y completo sobre como teselar el plano con figuras convexas. En la versión en inglés del libro,Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, se puede consultar el capítulo mencionado aquí.

# In Praise of Amateurs – Doris Schattschneider – Mathematical Recreations: A Collection in Honor of Martin Gardner – pp 140-170.

En su columna Mathematical Games de la revista Scientific American de Julio de  1975 (On Tesseling the Plane with Convex Polygon Tiles), Martin Gardner despierta el interés de una ama de casa llamada Marjorie Rice, que sin ninguna educación adicional a la escuela secundaria, hace una serie de descubrimientos sobre las configuraciones posibles de figuras convexas que teselan el plano. La historia está magníficamente relatada en este artículo de Doris Schattschneider. Se puede leer con un inglés elemental aquí.

BON APPETIT

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Granjas y Depósitos

Las comunidades rurales normalmente se componen de varias granjas dispersas en una amplia zona rural (consideramos esta zona rural totalmente plana, sin montañas). Entre dos granjas cualquiera de la comunidad existe una distancia máxima de separación d, por ejemplo: 1 km. Se ha decidido construir un depósito o granero de uso compartido para almacenar la cosecha de todas las granjas. Este depósito debe construirse en una ubicación tal, que la distancia con la granja más lejana sea la mínima posible.

¿Cómo se puede cumplir con este requisito de construcción de la manera más efectiva posible?

Si el depósito se construye en los terrenos de una de las granjas, entonces ninguna otra granja estará a más de 1 km de distancia del mismo. Sin embargo, es posible mejorar esta construcción de manera de minimizar aún más la distancia de separación entre el depósito y la granja más lejana.

Supongamos que tenemos una comunidad rural formada por tres (03) granjas A,B,C ; y la mayor distancia que existe entre dos granjas cualquiera de ellas es de 1 km. Las alternativas de localización óptima del depósito dependerá de como estén ubicadas las granjas una respecto de las otras, por lo que se dan básicamente tres posibilidades:

(1) Las granjas se ubican de tal manera, que forman una línea recta:

En este caso, la ubicación óptima para el depósito es a mitad de camino de  las  granjas separadas por 1 km de distancia. Como resultado ninguna granja queda a más de 1/2 km de distancia del depósito.

(2) Las granjas se ubican formando un triángulo obtusángulo o sea formando un triángulo con uno de sus ángulos mayor a 90° (y menor a 180°):

Al igual que el caso anterior, la ubicación óptima para el depósito se encuentra a mitad de camino de las granjas separadas por 1 km de distancia. Ninguna granja estará a más de 1/2 km de distancia del depósito común.

(3) Finalmente, la alternativa restante se da cuando las tres (03) granjas A,B y C son vértices de un triángulo acutángulo o sea un triángulo cuyos ángulos son menores a 90°:

En este caso tenemos que:

A es el ángulo mayor del triángulo ABC, y 60° \le A \le 90°  con BC=1.

El radio R del circuncirculo, o sea el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo ABC, viene dado por: R= \frac{BC}{2SenA} = \frac{1}{2SenA}.

(Esta última  fórmula surge de conocer la medida de BC y al ser A el ángulo opuesto por Ley de los Senos el diámetro del circuncirculo del triángulo ABC es d=\frac{BC}{SenA} y su radio es la mitad).

Si  \sin60=\frac{\sqrt{3}}{2} y 60° \le A \le 90°  inferimos:

R= \frac{1}{2SenA}  =  \frac{1}{2{\frac{\sqrt{3}}{2}}}  = \frac{1}{\sqrt{3}}

Entonces ubicando el depósito en el circuncentro del triángulo acutángulo o agudo formado por las granjas ABC, o dicho de otra manera, en el punto por donde se cortan las tres mediatrices del triángulo formado y que a la vez es el centro del circuncirculo, podemos estar seguros que ninguna granja estará a más de \frac{1}{\sqrt{3}} o aproximadamente 0,5774... km de distancia del mismo.

Resumiendo, en una comunidad rural formada por tres granjas y cualquiera sea su disposición en el campo, siempre se puede construir un depósito en un punto desde el cual ninguna de las granjas estará alejada a más de \frac{1}{\sqrt{3}} km de distancia.

Lo sorprendente de este resultado, es que también es válido para una comunidad rural de n granjas. Esto fue demostrado por H.W.E. Jung en 1901, y puesto en términos abstractos el Teorema de Jung establece que: si un conjunto de n puntos en el plano es tal que la máxima distancia entre cualquiera dos puntos del conjunto es 1 , entonces existe otro punto cuya distancia desde ninguno de los n puntos dados excede a \frac{1}{\sqrt{3}}.

Referencias:

# An Extremal Problem in Elementary GeometryR.J. WebsterMathematical Spectrum Volumen 1 1968/1969 Number 1 pp 1. (Se puede descargar el Volumen 1 completo de aquí),

En este artículo hay una demostración del Teorema de Jung basada en los conceptos de Espacio Euclídeo, Convexidad, Figuras Convexas.

# Números y Figuras – Hans Rademacher y Otto Toeplitz – Cap. 16 “El Círculo de Dispersión de un Conjunto Finito de Puntos” – Editorial Aguilar – 1968. (Es traducción de  The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur, y se puede descargar completo de aquí).

Este fantástico librito dedica todo un capítulo a la descripción y demostración del Teorema de Jung.

# MathWorld tiene una entrada sobre el Teorema de Jung.

# Wikipedia también tiene una breve descripción del Teorema de Jung.

(Este post se propuso para la 1° Edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 15/02/2010 en el blog Tito Eliatron Dixit.)

La Raíz Cuadrada de dos=1,41421 35623 73095 …

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Hace un tiempo me encontré con un artículo de Martin Gardner en el número de Abril de 1997 de la revista Math Horizon, titulado: The Root Square of two=1.414213562373095… la idea de este post es resumir y traducir las principales ideas allí expuestas.

Con un pequeño verso comienza Gardner exponiendo, el resultado inexorable de la raíz cuadrada de 2:

“Las rosas son rojas,

Las violetas son azules

Uno coma 414….

Es la raíz cuadrada de dos.”

Los puntos al final del número indican que la fracción decimal de la raíz cuadrada de dos, no se repite y es infinita, dicho de otra forma:

\displaystyle\sqrt{2}= Es Irracional

Sus dígitos decimales, como pasa con otros famosos números irracionales como \displaystyle\pi y \displaystyle e, parecen seguir una sucesión al azar, pero lejos está de ser aleatoria. Conocido cualquier número siempre se puede calcular el que le sigue en cualquier corte que se haga en la secuencia. La raíz cuadrada de dos, por ejemplo, es el límite de la siguiente fracción continua e infinita:

\displaystyle\sqrt{2}=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+1}}}

De esta fracción continua se pueden derivar fracciones racionales cuyos resultados se aproximan a la raíz cuadrada de 2 con cualquier grado deseado de exactitud.

La sucesión 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1303/985, …. algunas veces llamada Escala de Eudoxo (Eudoxus’ Ladder) en honor al antiguo geómetra y astrónomo griego, aproxima alternadamente por arriba y por abajo del valor del límite de dicha sucesión que es justamente la raíz cuadrada de dos. Cada fracción se acerca más a la raíz cuadrada de dos que su antecesor. La mejor aproximación con numerador y denominador de no más de tres dígitos es 577/408 que resulta en la raíz cuadrada de dos hasta el quinto decimal. Todo esto se puede verificar trabajando una planilla de cálculo Excel como la siguiente:

Si representamos una fracción cualquiera de la sucesión como a/b, la fracción que le sigue será (a+2b)/(a+b). Se puede notar que en cada etapa de la escala el numerador de una fracción es la suma de su denominador y del denominador de la fracción anterior.

En el libro Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers de David Wells, se expone una extraña propiedad de los múltiplos de la raíz cuadrada de dos. Por ejemplo, se escriben los múltiplos en línea, omitiendo la parte fraccionaria, así se obtiene la siguiente sucesión: 1, 2, 4, 5, 7, 8, …..

Bajo esta sucesión se escriben los números faltantes en la primera:

1 2 4 5 7 8 9 11 12 …

3 6 10 13 17 20 23 27 30 …

La diferencia entre el número de arriba y el de abajo en cada enésima posición es siempre dos veces n.

Fin de la primera parte.

Referencia:

#  The Root Square of two=1.414213562373095… – Martin Gardner – Math Horizons (April 1997).