Cancelaciones

Cancelando a lo bestia, pero con resultados correctos:

 

\displaystyle \frac{19}{95}=\frac{1\not9}{\not95}=\frac{1}{5}

\displaystyle \frac{3544}{7531}=\frac{3\not544}{7\not5 31}=\frac{344}{731}

\displaystyle \frac{2666}{6665}=\frac{2 \not6 66}{6 \not665}=\frac{266}{665}=\frac{2 \not6 6}{6 \not6 5}=\frac{26}{65}=\frac{2 \not6}{\not65}=\frac{2}{5}

\displaystyle \frac{143185}{17018560}=\frac{143 \not1\not85}{170 \not1\not8560}=\frac{1435}{170560}

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Las Matemáticas de Martin Gardner

La Mathematical Association of America tuvo la genial idea de dedicar el número completo de Enero 2012 del College Mathematical Journal, a las matemáticas que Martin Gardner difundió como pocos a través de su columna mensual Juegos Matemáticos (Mathematical Games) que durante poco más de 54 años publicó en la revista Scientific American.

Lo mejor de todo es que este número especial dedicado a Martin Gardner es accesible gratis desde aquí. ¡¡¡A disfrutar!!!

Áreas y Perímetros

Los siguientes cuadriláteros tienen la particularidad de tener cada uno el área igual a su perímetro:

¿existirá algún otro cuadrilátero con esta propiedad? ¿porqué si o porqué no?

Referencias:

# Mathematical Adventures for Students and Amateurs – David F. Hayes and Tatiana Shubin Editors – Mathematical Association of America – Spectrum Series – 2004.

2011

Se está terminando el año y recordé que hace un tiempo vi en twitter que el número 2011 se puede expresar como la suma de varios números primos consecutivos, veamos:

\mathbf{ \large 2011=157+163+167+173+179+181+191+193+199+211 }

Suma de Cubos

Es interesante analizar los cambios en las siguientes sumas de cubos:

La ecuación \mathbf{ x^3+y^3=7} tiene solución en números racionales (x=\frac{5}{3}, y=\frac{4}{3}).

La ecuación \mathbf{x^3+y^3=z^3} no tiene solución en números enteros según el Teorema de Fermat-Wiles.

La ecuación \mathbf{x^3+y^3=z^3 - 1} tiene como solución a  x=6, y=8, z=9

Simples cambios a la suma inicial la convierten en un desafiante problema invencible por siglos y luego en un simple problema nuevamente.

Referencias:

# Sums of Cubes – Abbas Rooholamini Gugheri – Mathematical Spectrum – Volume 43  2010/2011  Number 3.

Torneo de Ajedrez

Hay más cantidad de Maestros de Ajedrez en la ciudad de Buenos Aires que  en todo el resto de la Argentina junta. Se planea un torneo al cual se espera asistirán todos los Maestros de Ajedrez del país. Se acuerda organizar el evento en un lugar que minimice la distancia de desplazamiento entre las ciudades donde viven todos lo participantes. Los Maestros de Ajedrez de la ciudad de Buenos Aires, sabiendo que son la mayoría, reclaman que dado ese criterio, su ciudad debería ser la sede del torneo. En tanto los participantes del interior de Argentina reclaman que el torneo se lleve a cabo en un lugar del interior que sea aproximadamente equidistante a todas las ciudades de origen de los participantes.

¿A dónde se debería llevar a cabo el torneo de ajedrez?

Este problema, en la vida real se resuelve a lo prepo en Argentina, o sea: el Torneo se hace en Buenos Aires y punto. Sin hacer mucho análisis, en Argentina todo, absolutamente todo, se resuelve el Bs As. (…¡¡¡y así nos va!!!…).

Lamentablemente para mi orgullo, como habitante del interior de Argentina, los Maestros de Ajedrez de la ciudad de Buenos Aires tienen razón. Dada la restricción impuesta – minimizar la distancia de viaje entre las ciudades de origen de los participantes – el torneo de ajedrez debe realizarse en la ciudad de Buenos Aires. Aquí va el razonomiento de porqué es así:

Supongamos que llamamos a los Maestros de Ajedrez de Buenos Aires como A_1, A_2,...,A_k y al resto de los participantes I_1, I_2,...,I_t como hay más judadores en Buenos Aires que en el resto del país, tenemos que k>t. Emparejando un jugador de Bueno Aires con otro del interior tenemos (A_1,I_1), (A_2, I_2),...,(A_t,I_t) así los jugadores de Buenos Aires A_{t+1}, A_{t+2},...,A_k quedan fuera.

Consideremos ahora el par (A_1,I_1), sin importar el lugar en donde se organice el torneo entre A_1 y I_1 la distancia a recorrer entre las ciudades donde viven, considerada como una línea recta, es al menos “A_1I_1” y consideradas todas las distancias viajadas por todos los jugadores tenemos que al menos deben recorrer:

S=A_1I_1+A_2I_2+...+A_tI_t

Si el lugar elegido como sede del torneo es Buenos Aires, entonces S es el valor exacto equivalente a la mínima distancia a viajar por todos los participantes. Sin embargo, si el torneo es organizado en cualquier otro sitio, entonces los t pares de jugadores deben viajar por lo menos la distancia S más las distancias que les corresponde viajar a los jugadores de Buenos Aires A_{t+1},A_{t+2},...,A_k lo que incrementa el total. Por lo tanto la mejor opción para organizar el torneo, dada la restricción planteada, es Buenos Aires.

En países como Argentina muy centralizados en cuanto a la distribución de su población, este análisis perfectamente puede explicar porque todos los mayores eventos se realizan en los principales centros urbanos, mal que nos pese a los que vivimos en el interior.

(Esta entrada se propone para la IX edición del Carnaval de Matemática a cargo del blog Rescoldos en la trébede)

Referencias:

# Mathematical Morsels – Ross Honsberger – The Mathematical Association of America  – 1978.

Partiendo números

El número 3 se puede expresar como la suma de uno o más números naturales de cuatro formas diferentes, teniendo en cuenta el orden de los términos:

31+22+11+1+1

La pregunta que surge a continuación es:

¿ de cuántas formas se puede expresar el número n ?

Una forma muy simple de encarar el problema es, a partir de ejemplo dado, considerar al 3 y a cualquier número como una hilera de n unos (1) en fila, de la siguiente manera:

3              \longrightarrow 1 1 1

2+1        \longrightarrow 1 1|1

1+2         \longrightarrow 1|1 1

1+1+1   \longrightarrow 1|1|1

Analizando esta forma de expresar al número 3, vemos que el número de espacios interiores es n-1, o sea si n=3 los espacios interiores de la hilera de unos que forman al 3 es igual a 2. El mismo análisis le cabe a los separadores | utilizados para los unos según como expresemos al número 3.

Finalmente para representar al número 3 o al número n de la forma indicada, podemos o no insertar los separadores en los n-1 espacios interiores, por lo tanto hay 2^{n-1} formas de ubicar los separadores y al mismo tiempo la misma cantidad de maneras de expresar n.

Referencias:

# Mathematical Morsels – Ross Honsberger – The Mathematical Association of America  – 1978.

Números y Variables

A continuación posteo un resumen del capítulo 1 de “Análisis Económico para Economistas” de R.G.D. Allen, sobre los números y el concepto de variable. De lo mejor que alguna vez leí sobre el tema.

Clases de Número

Los números son considerados normalmente como entes que no necesitan ser definidos, son de sentido evidente por sí mismos, y no requieren, por lo tanto, examen alguno. El sistema numérico, sin embargo, es menos simple de lo que se cree, y tanto en aritmética como en álgebra aparecen diversas clases de números.

En aritmética todos comenzamos con cierta noción de los números naturales o números enteros, concepto íntimamente relacionado con la operación de contar. Cabe señalar que la operación de contar y, por lo tanto, la noción de número entero, entraña dos aspectos esencialmente distintos:

  • el aspecto ordinal del número
  • el aspecto cardinal del número

La propiedad fundamental de los números enteros consiste en que éstos pueden ser ordenados formando una sucesión ilimitada: 1, 2, 3, 3, 4, 5, ….. los números enteros pueden ser utilizados para indicar cualquier serie u ordenación de objetos, lo que constituye uno de los fines de la operación de contar.

Ahora bien, los números además de servir como indicación de orden pueden ser como un elemento indicativo de la correspondencia entre dos o más grupos de objetos. Por ejemplo: cuando hablamos de cuatro hombres, cuatro bastones o cuatro sombreros, prescindimos de toda noción de orden. Damos a entender que tenemos un conjunto de cuatro hombres, cuatro bastones y cuatro sombreros, y que estos conjuntos tienen algo en común que está expresado por el número 4. Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos de los tres conjuntos, por ejemplo: cada hombre puede usar un bastón y vestir un sombrero. Este es el aspecto cardinal de la operación de contar y de la noción de número entero por medio del cual podemos decir cuántos hombres, bastones y sombreros hay en cada conjunto, y que constituirá la base de la operación de medir.

La aritmética de números enteros nos lleva a la definición de las operaciones fundamentales de adición y multiplicación, de la cuales resultan la suma y el producto  de números enteros, que son también números enteros. Al definir la operación inversa de la multiplicación (la división) surge una primera dificultad. En efecto, la división de un número entero por otro no da – en la mayoría de los casos – un número entero. Por ejemplo: en la división de 7 entre 3, por lo que nos limitamos a decir que siete entre tres “no es exactamente divisible” o que “da dos y resta uno”. Para dotar de uniformidad a las operaciones aritméticas, se amplía el campo de los números introduciendo unos nuevos entes numéricos: los números fraccionarios o fracciones. El conjunto así ampliado de los números enteros y fraccionarios se denomina campo o conjunto de los números racionales.

Del mismo modo que los enteros, los números racionales pueden ser colocados por orden creciente de magnitud, dando lugar también a una sucesión  numérica ilimitada. La sucesión creciente de números racionales presenta, sin embargo, una nueva propiedad: la de ser, además de ilimitada, indefinidamente densa o de densidad ilimitada, ya que entre dos números cualesquiera de la sucesión racional, por ejemplo: ½ y 1 pueden escribirse infinitas fracciones, mayores que ½ y menores que 1. Las operaciones de adición, multiplicación y división pueden ser extendidas  igualmente al campo racional.

A pesar de esta nueva ampliación del concepto de número, carecen de uniformidad las operaciones de la aritmética, ya que al considerar, por ejemplo: la operación de extraer la raíz cuadrada de un número dado, salvo en casos singulares, como 36, 169,  6 ¼, etc., existen otros números racionales  como 2, 5, 6 y otros, cuya raíz cuadrada carece de sentido en el campo de los números racionales. Esto nos obliga a ampliar el concepto de número con la introducción de los números irracionales. Dentro del campo de los números irracionales están comprendidas las raíces cuadradas de aquellos números que no son cuadrados perfectos, las raíces o soluciones de cierto tipo de ecuaciones y los números tales como el y el e, que desempeñan un papel muy importante dentro del análisis matemático. Los números irracionales ocupan un lugar correspondiente a su magnitud dentro de la sucesión numérica ilimitada y además las operaciones racionales se pueden extender, aunque con mayores dificultades, al campo de los números irracionales.

Una extensión nueva del campo numérico surge de la sustracción (ó resta) operación inversa a la adición (ó suma), que tiene por objeto restar de un número mayor (racional o irracional) otro menor, dando lugar a un número de la misma naturaleza. Esta operación carece de sentido si se invierte el orden de los números dados, restando del menor el mayor. Es deseable, tanto en aritmética como en algebra, que la diferencia entre dos números cualesquiera sea un número perteneciente al mismo campo numérico. Esta uniformidad solo puede lograrse doblando el campo numérico hasta aquí considerado, al establecer la distinción entre números positivos y números negativos, y agregando, además, un nuevo ente; el cero, que sirve para indicar la nada, la total carencia de unidades. La diferencia entre dos números cualesquiera será entonces un número determinado (positivo, negativo o cero) y la sustracción aparecerá como una operación uniforme.

Esta última extensión del campo numérico se introduce una gran simplificación en la investigación algebraica. En efecto, en álgebra aparecen frecuentemente ecuaciones tales como las siguientes:

x^2+2x+1=0;    x^2=2x+3;    3x=2x^2+1;    x^2=5

Todas estas ecuaciones son de la misma forma, y con la introducción del cero y los números negativos, podrán ser todas ellas incluidas todas ellas dentro de una expresión uniforme, escribiéndose del siguiente modo:

x^2+2x+1=0;            x^2+(-2)x+(-3)=0

2x^2+(-3)x+1=0;    x^2+(0)x+(-5)=0

Con el simbolismo algebraico, todas las ecuaciones de este tipo pertenecen a la ecuación cuadrática general:

ax^2+bx+c=0

en la que a, b y c representan números dados (positivos, negativos o nulos).

El campo de los números reales

El campo numérico, analizado hasta el momento, consta del número neutral cero y del conjunto de los números positivos y negativos, racionales e irracionales. Este es el campo de los números reales, tal como se considera en el álgebra y en análisis matemático.

El conjunto ordenado de los números negativos aparece a la izquierda de los números positivos (colocados también por orden creciente de magnitud), estando separados ambos conjuntos por el cero.

Dados dos números cualesquiera (positivos o negativos) de ésta sucesión real ilimitada en ambos sentidos, será mayor el que aparezca colocado a la derecha.

El campo numérico real, presenta además, otra nueva propiedad: que la sucesión carece de soluciones de continuidad o huecos entre dos números reales cualesquiera de la misma. En efecto, los huecos que aparecían en la sucesión son cubiertos completamente con la introducción de los números irracionales.

Las conocidas reglas de la aritmética y álgebra serán, por lo tanto, aplicables a un sistema de números reales con las siguientes propiedades

1.      Los números pueden colocarse en orden creciente de magnitud.

2.      La sucesión de números reales es ilimitada en ambos sentidos.

3.      La sucesión real es de densidad ilimitada y sin soluciones de continuidad, o sea, constituye una sucesión numérica perfectamente continua.

En el desarrollo del campo numérico, a partir de la noción primaria de sucesión natural, un principio merece destacarse: el de la conservación de las propiedades de las operaciones fundamentales en aritmética y álgebra, a medida que se amplía el campo numérico con la introducción de nuevos entes.

Dentro del campo real, no se alcanza completamente la uniformidad requerida, siendo necesaria una nueva ampliación del concepto de número. Estas anomalías son:

1º- La división carece de sentido cuando el divisor es cero, ya que un número real dividido por cero no da un número real. En este caso la carencia de uniformidad se manifiesta al decir que “no está definida la división por cero” sin que pueda aclararse esta definición hasta que la noción de límite sea definida.

2º- Al estudiar en álgebra la resolución de ecuaciones cuadráticas éstas tienen, en algunos casos, dos soluciones (iguales o desiguales), careciendo, en otros, de solución real. Para que la uniformidad se mantenga es necesario que toda ecuación cuadrática presente dos soluciones siempre, lo que se alcanza con la introducción de unos nuevos entes numéricos denominados números imaginarios o complejos; aparece así ampliado el campo numérico.

3º- El hecho de que el conjunto de los números reales sea de extensión y densidad ilimitadas, nos permite, hablar dentro del mismo, de números infinitamente grandes y de números infinitamente próximos. Aquí tropezamos con el concepto de infinito, del infinitamente grande y del infinitamente próximo o continuo.

Variables continuas y discontinuas

El elemento esencial de todo el edificio matemático es el conjunto numérico, el simbolismo, sin embargo, lo ha dotado de mayor flexibilidad y precisión. La primera y más clara diferencia distinción que suele establecerse entre aritmética por una parte, y álgebra y análisis, por otra, está basada en el empleo de números particulares en el estudio aritmético, en tanto que en el algebraico y analítico se utilizan variables representadas por símbolos literales.

Una variable representa un número cualquiera, es decir, un número indeterminado perteneciente a un conjunto dado de números reales, siendo siempre simbolizada por una letra tal como la x , la y o la t (normalmente alguna de las últimas letras del abecedario).

Los números que la variable puede representar se denominan valores de la variable, y el conjunto de valores que la variable puede tomar constituye el campo de variabilidad (o dominio) de ésta.

Toda variable supone cierto campo de variabilidad, es decir, un conjunto de números entres los cuales toma la variable sus valores.

Cuando una variable tenga como campo de variabilidad el conjunto de números reales, no será necesaria una indicación explícita; pero si la variable está definida dentro de un campo más limitado, como por ejemplo: el de los números positivos, o en el de los comprendidos entre cero y uno, entonces el campo de variabilidad correspondiente deberá ser expresamente indicado al definir la variable.

Un caso particular a considerar se da si una variable x puede tomar todos los valores reales comprendidos entre dos números dados a y b , su campo de variabilidad se denomina intervalo, designándose en general, por (a, b) , o bien a<x<b , o a\leq x \leq b , según que los valores de ab queden o no excluidos del campo de variabilidad de x.

Frecuentemente se toman valores de una variable  próximos a una constante a o en la proximidad de a, con lo cual manifestamos una cierta vaguedad o imprecisión que debe eliminarse. Esto nos lleva a definir la noción de entorno (o vecindario). Se denomina entorno de un punto x=a (punto y número pueden admitirse como sinónimos) a un intervalo de x que tiene a a como punto medio. Simbólicamente puede expresarse el entorno de x=a por el intervalo (a-k)<x<(a+k), siendo k un número positivo dado. En este entorno (x-a) es menor, en valor absoluto, que k, siendo 2k la amplitud del intervalo. Aunque el valor de k puede ser un valor positivo cualquiera, se acostumbra tomar k como un número muy pequeño; es decir, a definir el entorno de x=a como un intervalo muy pequeño.

Una importante distinción puede ahora establecerse. Se dice que una variable es continua si su campo de variabilidad está constituido por el campo real o por cualquier intervalo de dicho campo; el término continuo es tomado aquí en el mismo sentido que si hablásemos de un conjunto numérico continuo. Los valores de la variable continua podrán ordenarse, dentro del intervalo en que esté definida, formando un conjunto indefinidamente denso y sin huecos o vacíos numéricos.

Conviene, frecuentemente, tomar valores de la variable continua en orden creciente de magnitud, lo cual se expresa diciendo que “la variable crece continuamente en el intervalo”. Ahora bien, los cambios que experimenta la variable en el intervalo son esencialmente independientes del tiempo; los valores de la variable constituyen, en efecto, un campo de variabilidad a ser considerado como un todo, en conjunto, aunque por conveniencia imaginemos un cierto orden de magnitud en sus valores.

Se dice que una variable es discontinua cuando, por el contrario, su campo de variabilidad no lo constituyen ni el conjunto de los números reales, ni ningún intervalo de dicho conjunto. Los valores que toma una variable discontinua forman, en efecto, un conjunto numérico que presenta huecos o vacíos numéricos.

Cantidades y su medición

Al considerar el empleo del conjunto numérico en la interpretación de fenómenos científicos, surge entre las aplicaciones más inmediatas, la enumeración de los conjuntos discretos formados por hechos u objetos físicos aislados, tales como el número de hombres que componen un grupo cualquiera, los pasos que mide un camino o las monedas que constituyen una suma de dinero, para contar los cuales sólo se requieren números enteros.

La unidad de cuenta es, en estos casos, el número uno, que es el que corresponde a un hecho u objeto aislado. Pueden, sin embargo, adoptarse, por conveniencia, unidades de mayor orden de magnitud, como ocurre, por ejemplo, cuando contamos por centenas o millares los hombres de una colectividad, o también cuando evaluamos una suma de dinero en billetes de $50 o de $100 pesos, en lugar de hacerlo en monedas más pequeñas (de $1, por ejemplo). El resultado de la enumeración u operación de contar vendrá expresado, en este caso, por una fracción o número decimal en vez de por un  número entero. Así, por ejemplo, podemos decir que un camino 1,5 kilómetros, en lugar de indicar que mide 1.500 metros. De aquí resulta que, incluso en la enumeración de conjuntos, el campo de variabilidad de los números utilizados puede ser tan extenso como se quiera, planteándose la cuestión de elegir la unidad de medida más conveniente en cada caso.

La enumeración o enunciación no es, sin embargo, suficiente para la completa interpretación de los fenómenos científicos. La observación del mundo exterior da lugar también a las denominadas propiedades abstractas de los objetos, es decir, aquellas que inducimos de nuestras propias sensaciones –figuras, colores, temperaturas, diversos tonos musicales, longitudes, masas, intervalos de tiempo, etc.-, y es muy importante ver la manera (si es posible) de relacionar estas propiedades con la representación numérica. Se destacan aquí, los dos aspectos del número:

  • Ordinal
  • Cardinal

Se considerará el número desde el punto de vista ordinal cuando la propiedad a que se aplique sea susceptible de cualquier tipo de ordenación numérica, ya que esto constituye un requisito esencial para poder asociar la idea de orden con la propiedad considerada. Algunas de las propiedades abstractas que los fenómenos científicos presentan (por ejemplo: la temperatura y la longitud) se pueden ordenar de mayor a menor; pero otras, por el contrario, no son aptas para ser ordenadas  de este modo. Una primera distinción a hacer es la siguiente:

  • Las propiedades no susceptibles de una ordenación numérica directa se denominarán cualidades, no pudiendo, por lo tanto, aplicarse a ellas directamente los números.
  • Las propiedades que admitan un cierto orden natural para sus valores se llamarán magnitudes, siendo posible entonces asociarlas directamente con la sucesión numérica ilimitada.

El número asignado a un magnitud cualquiera sirve solamente para indicar su posición dentro de un orden establecido, sin que esto quiera decir que exista de hecho una relación íntima y singular. La representación numérica de las magnitudes es de una gran importancia dentro del campo científico, como se pone de manifiesto, por ejemplo, al expresar la temperatura en grados centígrados o Fahrenheit.

Otra distinción puede establecerse entre dos magnitudes, según pueda o no aplicarse, además del ordinal, el aspecto cardinal del número. Cuando dos valores cualesquiera de una magnitud dada pueden sumarse, dando lugar a un tercer valor de dicha magnitud, se dice que esta presenta la propiedad aditiva, pudiéndose entonces aplicar los números cardinales y las propiedades fundamentales de la aritmética. Las magnitudes que poseen la propiedad aditiva se llaman cantidades, las cuales son susceptibles de medición directa; de aquí resulta que los números pueden medir –además de ordenar- las cantidades. Las longitudes, masas, intervalos de tiempo son ejemplo de cantidades; las temperaturas y los diversos tonos musicales con magnitudes, pero no cantidades.

Consideremos una cantidad cualquier, por ejemplo, la longitud (lo que sigue puede aplicarse, con las debidas modificaciones, a otras cantidades). La propiedad aditiva de la longitud permite construir una escala para medir longitudes. Se elige, como unidad de medida, una determinada longitud y se colocan, unas a continuación de otras, las unidades que forman la escala, lo cual es posible gracias a la propiedad aditiva.

La longitud tomada como unidad de medida puede ser cualquiera, como por ejemplo, el metro. De este modo, una longitud podrá medirse en metros, comparándola con la escala anterior, sin otro requisito que el contar el número de metros que mida: 2,10, …, 143 y así sucesivamente. O dicho de otro modo: una longitud dada vendrá medida por un determinado número (tal como 2, 10 ó 143) de metros, como resultado de una comparación con la unidad fundamental de la escala.

Un dificultad, surge cuando, como sucede en la mayor parte de los casos, la longitud que se quiere medir no coincide con una división de la escala, debiéndose entonces efectuar la lectura del número más próximo de metros. De aquí se infiere la posibilidad de que dos longitudes no coincidentes puedan tener la misma medida, o que la suma de dos o más longitudes pueda dar una lectura en la escala que no corresponda a la suma de las lecturas de dichas longitudes, efectuadas separadamente. Este hecho práctico parece contradecir la propiedad aditiva de las cantidades, la que siempre debe verificarse, por lo que la medida de una longitud cualquiera deberá ser efectuada en tales condiciones, que se cumplan en todo caso las propiedades fundamentales de la cantidad.

Esto nos lleva a admitir los números fraccionarios (lo mismo que los enteros) en la medida de longitudes. Se puede, en efecto, dividir la unidad de la escala en partes iguales, tales como décimas o centésimas de metro, y comparar entonces la longitud dada con la escala así subdividida. Alternativamente, podemos aplicar repetidas veces una longitud dada a lo largo de la escala hasta que el múltiplo de dicha longitud coincida con la división de la escala. Así, por ejemplo, una longitud de 2 ¾ ó 2,75 metros cubre exactamente 275 centímetros, o también un centenar de tales longitudes cubre exactamente 275 metros.

En la práctica, esta operación es suficiente, ya que existe un límite físico para la comparación efectuada entre una longitud dada y la escala de medida adoptada. Desde un punto de vista teórico, sin embargo, tampoco es satisfactoria la medida de longitudes por medio de números racionales. Según el teorema de Pitágoras, la diagonal (hipotenusa) de un cuadrado que tenga, por ejemplo, un metro de lado, vendrá expresada por \sqrt{2} metros, que no es un número racional, por lo que se debe admitir,  la existencia de longitudes cuya medida sea un número irracional.

Este resultado se explica asociando el concepto de infinitamente pequeño y continuo con la propiedad observada de la longitud, al admitir – análogamente a lo que ocurría con el sistema numérico abstracto – que la longitud es una variable continua. O dicho en otros términos: se introduce aquí un nuevo concepto abstracto de longitud, suponiendo que existe una verdadera longitud continua, aunque no sea posible medirla exactamente en el terreno práctico.

Esta hipótesis de continuidad, que cae fuera de toda experiencia directa, se impone, sin embargo, como una exigencia de la lógica matemática, al objeto de que toda medida de longitud admita la propiedad aditiva y verifique plenamente las leyes formales de la aritmética.

En la descripción de fenómenos científicos aparecen,  ciertas cantidades que se pueden medir directamente, de ellas sólo tres se requieren en mecánica: la longitud, para la descripción del espacio; la masa para la descripción del peso o de la inercia, y el intervalo de tiempo, para describir los cambios temporales. Sin embargo cuando se amplía el dominio de la física se hace necesario otras cantidades fundamentales. En electricidad, por ejemplo, precisamos de la nueva magnitud fundamental de cantidad de electricidad. Si elegimos una unidad de medida como patrón, podemos expresar cada cantidad por medio de un número variable, siendo las unidades admitidas en física para medir la longitud, la masa y el tiempo, el centímetro, el gramo y el segundo, si bien, a veces, se utilizan también otras.

Admitimos, finalmente, la continuidad de todas las demás cantidades fundamentales. Cuando se habla, por ejemplo, de una longitud de x centímetros, de una masa de y g, o de un intervalo de t segundos, se supone que los números x, y, t son variables continuas, sometidas a las leyes formales de la aritmética y el algebra.

Unidades de medida

La medida de una cantidad, según se definió previamente, está sólo determinada cuando se fija la unidad de escala. La elección de la unidad de medida para cada tipo de cantidad es completamente arbitraria, y puede ser fijada de diversos modos.

Según hemos observado, la unidad adoptada en la medida de las longitudes suele ser normalmente, en la elaboración teórica, el centímetro; pero las pulgadas, los pies, las yardas, las millas, los milímetros, los kilómetros e incluso los pasos constituyen ejemplos corrientes de unidades de medida de longitudes. De aquí parece inferirse una gran arbitrariedad en la medida de una cantidad cualquiera, lo que plantea la cuestión de si existe, efectivamente, una distinción esencial entre cantidades, cuya medida depende arbitrariamente de la unidad adoptada, y las magnitudes en general, representadas por números, sin estar especialmente referidos a una escala dada de medida.

Se demostrará a continuación que esta distinción es efectiva, y que el principio arbitrario introducido en la medida de una cantidad tiene un alcance mucho más limitado y accesible que la representación de magnitudes no mensurables directamente.

Existe, en efecto, un procedimiento muy sencillo de relacionar las medidas de una misma cantidad referidas a dos escalas diferentes. Supongamos que la unidad de la segunda escala equivale a \lambda unidades de la primera. Si una determinada cantidad mide x e y en la primera y segunda escala, respectivamente, entonces se tendrá  x=\lambda y, cuya relación es válida para toda la clase de cantidades.

De aquí resulta que la medida de una determinada cantidad cambia al variar la unidad adoptada; pero este cambio es de naturaleza muy sencilla y puede ser efectuado fácilmente, sin más que aplicar el principio de la proporcionalidad. La proporción entre las dos unidades elegidas viene determinada por un factor constante \lambda, que nos permite expresar la medida obtenida con una unidad en términos de la otra.

Por ejemplo: una longitud puede ser expresada lo mismo por x metros que por 100 x centímetros, cualquiera sea el valor de x. La medida de la longitud cambia proporcionalmente, con independencia de la longitud tomada. La relación de proporcionalidad entre las unidades elegidas se puede expresar por medio de un número fraccionario o irracional. Una pulgada, por ejemplo, equivale a 2,54…cm., y una longitud de x pulgadas vendrá, por tanto, expresada por (2,54…)x centímetros.

Las medidas, en una cierta escala, de una sucesión de cantidades de la misma naturaleza son exactamente proporcionales a las correspondientes de una segunda escala; por ejemplo, una misma longitud puede ser expresada por los siguientes tipos de medida:

5,  10, 15, 20, 25,     ….  mm

1/2,  1,   3/2 ,  2,    5/2,      … cm

1/200, 1/100, 3/200 , 1/50, 1/40,     … m

La limitación existente en las diversas medidas de una misma cantidad se puede expresar diciendo que la razón entre las medidas de dos cantidades de la misma naturaleza es independiente de las unidades elegidas. La razón entre las medidas de las dos primeras longitudes del ejemplo anterior es siempre ; la primera longitud es igual a la mitad de la segunda, cualquiera sea la escala de medida adoptada.

Cuando se trata de una magnitud no susceptible de medición directa, el principio arbitrario no está sujeto a semejante limitación. En efecto, una sucesión de magnitudes no mensurables (no susceptibles de medida directa) de la misma naturaleza se puede expresar en orden ascendente de magnitud, mediante una sucesión cualquiera de números crecientes:

1, 2, 3, 4, 5, …

1, 3, 5, 7, 9, …

1, 4, 9, 16, 25, …

y así sucesivamente.

En este caso no existe relación alguna entre los diversos números que pueden representar una magnitud cualquiera, no planteándose, por tanto, el problema del cambio de unidades.

Cantidades derivadas

Del relativamente escaso número de cantidades fundamentales que es necesario para la descripción de los fenómenos científicos se pueden obtener un gran número de cantidades derivadas.

Los dos procedimientos más sencillos de definir cantidades derivadas son el de multiplicación y de división de cantidades fundamentales, de la misma o de distinta naturaleza.

Por ejemplo:

–  Cantidades derivadas, definidas por la multiplicación, son el área de una superficie y el volumen de un sólido. El área se expresa por el producto de dos longitudes, y el volumen, por el de tres.

–  Son quizás más importantes, y evidentemente más corrientes, las cantidades derivadas obtenidas dividiendo una cantidad fundamental por otra, así por ejemplo, la velocidad de un móvil se obtiene dividiendo la distancia recorrida por el tiempo invertido en recorrerla; la corriente eléctrica es una cantidad derivada obtenida dividiendo la carga eléctrica que pasa por un punto de un alambre por el tiempo; dividiendo la masa de un cuerpo por su volumen se define una cantidad derivada conocida con el nombre de densidad. En economía, un ejemplo sencillo de cantidad derivada es el precio, obtenido dividiendo la suma de dinero pagada por un artículo cualquiera por el número de unidades adquiridas.

De la definición anterior resulta, que las cantidades derivadas sólo pueden ser medidas en función de dos o más unidades fundamentales. Para expresar en términos definidos una cantidad derivada, habrá que adoptar previamente una unidad determinada para cada una de las cantidades fundamentales que la definen. Esto se ve claramente por el modo en que son definidas corrientemente las cantidades derivadas: las velocidades se expresan por medidas tales como 30 km/hora; las densidades indicando los gramos por metro cúbico, los precios como tantos pesos ($) por artículo o gramo, etc.

Los números que representan las cantidades derivadas se consideran como variables continuas.

Dentro de las cantidades derivadas hay dos conceptos numéricos importantes:

–  El promedio por ejemplo la media aritmética constituye un ejemplo de un promedio: si un tren ha recorrido 45 km en una hora y media, se dice que su velocidad media ha sido de 30 km por hora.

–  El marginal por ejemplo, siguiendo el ejemplo anterior, la velocidad instantánea del tren; es decir, la que llevaría un tren que, en cualquier momento de su recorrido, hiciera 30 km por hora, lo cual supone que la distancia recorrida en un intervalo de tiempo pequeñísimo, dividida por dicho intervalo de tiempo, da una velocidad equivalente a la de 30 km por hora, aproximadamente.

Referencias:

# Análisis Matemático para Economistas – R.G.D. Allen – Aguilar – 1978.

Una forma de multiplicar

– ¿Quieres saber acerca de mi útimo invento?.
– Acaso ¿tengo alternativa?.
– Es que descubrí una nueva manera de multiplicar dos números.
– Pero, si para eso con una calculadora elemental es suficiente.
– Digamos que quieres multiplicar 2 x 3, ¿si?.
– Me pasa todo el tiempo.
– Une los puntos (-2, 4) y (3, 9).
– ¿De donde salen esos puntos?.
– Son el resultado de (-a, a2) y (b, b2).
– OK.
– ¿Donde intersecta la linea al eje y?.
– ¡¡¡¡Epa!!!! ¿Siempre es así?.

Referencias:

# Wild about Math y think again!

(Esta entrada se propone para la VIII edición del Carnaval de Matemáticas a cargo en esta oportunidad del blog Los Matemáticos no son gente seria ).

La Criba de Sundaram

Muchos conocen la llamada Criba de Eratosthenes como un método que permite “filtrar” o “separar” números primos. No tan conocida es la llamada Criba de Sundaram, método desarrollado por un joven estudiante indio en 1934 llamado S.P. Sundaram.

Se construye una tabla de números cuya primera fila y columna es:  4, 7, 10, … el primer término es el número 4 y los siguientes siguen una progresión aritmética con una diferencia común igual a 3. En términos matemáticos el primer requisito para generar los números que componen la tabla está dado por:  a_n=4+(n-1)3 aquí la diferencia d es igual a tres. En las filas siguientes la diferencia común va cambiando tomando solo valores impares o sea: 3, 5, 7, 9, 11, …, entonces el segundo requisito para la construcción de la tabla está dado por a_n=4+(n-1)d con d=3,5,7,9,11,...:

\mathbb\;     \begin{matrix}       4 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 25 & ... \\       7 & 12 & 17 & 22 & 27 & 32 & 37 & 42 & ... \\      10 & 17 & 24 & 31 & 38 & 45 & 52 & 59 & ... \\      13 & 22 & 31 & 40 & 49 & 58 & 67 & 76 & ... \\      16 & 27 & 38 & 49 & 60 & 71 & 82 & 93 & ... \\      ...     \end{matrix}

La propiedad que hace interesante esta tabla es la siguiente:

  • Si N ocurre en la tabla, entonces 2N+1 no es un número primo.
  • Si N no ocurre en la tabla, entonces 2N+1 es un número primo.

Verificamos con los cuatro primeros números naturales:

N=1 , no figura en la tabla, entonces 2\times 1 + 1=3 número primo.

N=2, no figura en la tabla, entonces 2 \times 2 +1=5 número primo.

N=3, no figura en la tabla, entonces 2 \times 3 +1=7 número primo.

N=4, si figura en la tabla, entonces 2 \times 4+1=9 no es un número primo.

Parece que funciona la Criba de Sundaram.

Referencias:

# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 75.