Encontré en internet una copia de Recreations in the Theory of Numbers de Albert H. Beiler (Dover – 1966). Con un inglés elemental se puede leer y disfrutar sin problemas. El libro cubre lo básico de Teoría de Números desde un punto de vista recreativo, bien explicado, buenos ejemplos, detallando distintas técnicas para la resolución de problemas, contexto histórico, etc.

En el primer capítulo el autor plantea una serie de problemas para ejemplificar el contenido de la Teoría de Números, los dejo aquí planteados para el que se anime:

1- Encontrar los divisores, si los tiene, de 16000001.

2- Un lado de un triángulo rectágulo cualquiera mide 48 cm. Encontrar diez pares de números enteros que representen la medida de los otros dos lados del triángulo dado.

3- ¿Cuántos números enteros positivos hay menores que y sin un divisor común con 5929?

4- Encontrar el mínimo número formado sólo de tres y sietes de manera que este número y la suma de sus dígitos sean divisibles en 3 y en 7.

5- Encontrar tres númetos cuadrados en progresión aritmética. ¿Habrá cuatro de ellos?

6- Encontrar el mínimo número con exactamente 100 divisores (propios).

7- Mostrar que es siempre divisible en n si n es un númeto primo, pero nunca si n es un número compuesto.

8- Probar que cada número primo de la forma es expresable como la suma de dos enteros cuadrados en solo un única manera.

9- Encontrar números cada uno de los cuales sea igual a la suma de todos sus diferentes divisores (excluído el propio número, pero incluida la unidad).

10- Encontrar una fórmula general para los valores de x para los cuales es un número primo.

11- Probar que cada número par se puede representar como la suma de dos números primos.

12- Probar que es imposible para números enteros con n mayor que 2.

De los doce problemas planteados, hay tres que al momento de editarse el libro, año 1966, no habían sido resueltos. A la fecha, el problema 12, que no es otro que el Último Teorema de Fermat, fue demostrado en 1993 por el matemático inglés Andrew Wiles, por lo que pasó a llamarse Teorema de Fermat-Wiles.

Es interesante aprender la opinión de grandes matemáticos a través de la historia respecto de la Teoría de Números, sobre todo en dos aspectos: la valoración de la inutilidad de la Teoría de Números para cualquier aplicación práctica y la dualidad manifiesta en la simpleza de sus planteos junto a la dificultad de sus soluciones.

El matemático alemán Ernst Kummer consideraba su trabajo sobre los números ideales como el más importante ya que no estaba «manchado» por ninguna aplicación práctica.

Otro grande como David Hilbert expresaba: «En Teoría de Números, valoramos la simplicidad de sus fundamentos, la exactitud de su concepción y la puresa de sus verdades; la exaltamos como el modelo para otras ciencias, como la más profunda e inagotable fuente de conocimiento matemático, pródiga en incitaciones a la investigación en otras áreas de la matemática…además la Teoría de Números es independiente a los cambios de moda,  y en ella no vemos, cómo sucede en otras áreas del conocimiento, nociones o métodos en un momento con excesiva importancia,  y en  otro sufriendo un descuido inmerecido; en Teoría de Números el más antiguo de los problemas es usualmente actual hoy en día, como una genuina obra de arte del pasado.»

El inglés G.H. Hardy, comentaba al respecto: «La Teoría de Números Elemental debe ser uno de los mejores temas en la más temprana educación matemática. Demanda muy poco conocimiento previo; trata de asuntos tangibles y familiares; el proceso de razonamiento que emplea es simple, general y resumido; y es única entre las ciencias metemáticas en cuanto a su atractivo a la natural curiosidad humana. Un mes de enseñanza inteligente en Teoría de Números debe ser el doble de instructiva, el doble de útil, y al menos diez veces más divertida que la misma cantidad de cálculo para ingenieros».

El matemático J.V. Unspensky en su Elementary Number Theory concluye: «¿Qué, entonces, obliga a los hombres a  dedicar tanto tiempo y esfuerzo en investigaciones aritméticas?… La respuesta está en que toda la belleza de esta ciencia se vuelve aparente sólo a aquellos que se sumergen profundamente en ella… Es natural que el estudio preliminar del tema [teoría de números] no sea muy interesante en si mismo como para apreciar los tesoros aritméticos que contiene. Esto es inevitable: antes de aprender a caminar uno debe aprender a gatear.»

Lamentablemente, la enseñanza de la matemática, está lejos siquiera de acercarse a todo lo expuesto y con suerte, de grandes, como es mi caso, descubrimos todo este mundo increíble, como consuelo queda agregar: «mejor tarde que nunca».

Referencia:

# Recreations in the Theory of Numbers – Albert H. Beiler – Dover (1966).

(Se puede descargar el libro desde aquí)