Desafiando a un Genio

A la edad de 14 años el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan fue desafiado con un problema, por su compañero de escuela C.V. Rajagopalachari, quién quería probar cuán inteligente era Ramanujan. El problema pedía resolver simultáneamente las siguientes ecuaciones:

\displaystyle\sqrt {x}+y=7       \displaystyle\sqrt{y}+x=11

La historia cuenta que Ramanujan no solo resolvió este sistema de ecuaciones, sino que lo hizo en medio minuto luego de un razonamiento en dos simples pasos. Así, treinta segundos luego de planteado el problema, Ramanujan dió una solución en números enteros para las ecuaciones planteadas: \displaystyle x=9 , \displaystyle y=4.

Cuando leí la historia, me pregunté ¿cuánto me llevaría llegar a la solución de Ramanujan?. La diferencia de tiempo sería una medida aproximada de la diferencia entre la capacidad mental de un  genio y de este humilde mortal de inteligencia promedio.

Puesto en la tarea y armado de la tecnología básica para hacer matemáticas, lápiz y papel, me puse a resolver el problema, aquí van mis resultados y descubrimientos:

1°) Tratamos de simplificar los términos de las ecuaciones:

\displaystyle\sqrt {x}+y=7  \displaystyle definimos  \displaystyle\sqrt{x}=a \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=a^2

\displaystyle\sqrt{y}+x=11 \displaystyle definimos  \displaystyle\sqrt{y}=b \displaystyle\rightarrow \displaystyle y=b^2

2°) Sustituimos en los valores definidos originalmente:

\displaystyle\sqrt {x}+y=7 \displaystyle\rightarrow \displaystyle a+b^2=7      (1)

\displaystyle x+\sqrt{y}=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle a^2+b=11   (2)

3°) Despejamos a en la ecuación (1) y sustituimos a en la ecuación (2):

\displaystyle a+b^2=7   \displaystyle\rightarrow \displaystyle a=7-b^2

\displaystyle a^2+b=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle (7-b^2)^2+b=11 (3)

4°) Desarrollamos (3):

\displaystyle (7-b^2)^2+b=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle 49-14b^2+b^4+b=11

\displaystyle (7-b^2)^2+b=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle b^4-14b^2+b+38=0 (4)

5°) Factorizamos el polinomio de cuarto grado (4), de la siguiente manera:

\displaystyle b^4-14b^2+b+38=0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle (b-2)(b^3+2b^2-10b-19)=0 (5)

6°) De la ecuación obtenida en (5) obtenemos una primera raíz racional: \displaystyle b=2 (6)

7°) Sustituimos (6) en (1) y obtenemos:

\displaystyle a+b^2=7   \displaystyle\rightarrow \displaystyle a=3 (7)

8°) Por lo tanto de (6) y (7) obtenemos finalmente:

\displaystyle x=a^2=9

\displaystyle y=b^2=4

Estos son los valores de las raíces dados por Ramanujan que verifican las ecuaciones propuestas en el problema. Queda determinar las raíces del polinomio de tercer grado en (5), y aquí se me queman un poco los papeles, resolver funciones polinómicas de tercer grado no está en mi stock básico de conocimientos matemáticos.

Investigando un poco, encuentro que en Análisis Númerico se utiliza un método para encontrar los “ceros” o “raíces” de una función polinómica de grado n, denominado Método Newton-Raphson. Es un metódo iterativo bastante fácil de aplicar y fácilmente modelable en una planilla de cálculo Excel, también con Geogebra (motivo de un próximo post).

El resultado de aplicar el Método Newton-Raphson, y permitiendo valores positivos y negativos para los radicales \displaystyle\sqrt{x} y \displaystyle\sqrt{y}, obtenemos las siguientes soluciones:

\displaystyle\sqrt{x}>0 , \displaystyle\sqrt{y}>0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=9 , \displaystyle y=4

\displaystyle\sqrt{x}>0 , \displaystyle\sqrt{y}<0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=12,84813 , \displaystyle y=3,41557

\displaystyle\sqrt{x}<0 , \displaystyle\sqrt{y}>0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=7,86869 , \displaystyle y=9,80512

\displaystyle\sqrt{x}<0 , \displaystyle\sqrt{y}<0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=14,28319 , \displaystyle y=10,77931

Comparando el tiempo que dediqué a resolver este problema con el que empleó Ramanujan, sin entrar en detalles, digamos que pasaron unas cuantas decenas de minutos. Por algo uno es un simple mortal y no un genio.

¿Habrá hecho Ramanujan todo este análisis mentalmente en medio minuto?, es muy probable que Ramanujan al ver las  ecuaciones que le planteó su amigo, dedujo que las raíces podrían ser números cuadrados, reemplazó con los primeros cuadrados 4 y 9 …¡¡¡¡ta daaaa!!!!… resuelto, ahí está su genio: en la facilidad, simpleza y eficiencia en llegar a la solución.

De todos modos, independientemente de los minutos invertidos, tener ese momento ¡¡¡ajá!!! al llegar al resultado dado por Ramanujan y aprender a resolver funciones polinómicas con un método que desconocía, no está mal para un simple par de ecuaciones, ¿no?.

(Este post se propone para la V Edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 21/06/2010 en el blog Ciencia)

Referencias:

# Srinivasa Aaiyangar Ramanujan – Wikipedia (Castellano).

# Srinivasa Ramanujan – Wikipedia (Inglés).

# The Man Who Knew Infinity – Robert Kanigel – Washington Square Press (1991) pp 78-79.

(El Hombre que conoció el Infinito, nunca un título más apropiado para relatar la vida de Ramanujan. Este libro es la referencia obligada para saber de la vida de este genio, best seller en su momento, muy bien escrito, con un inglés básico se lee de corrido sin problemas, desconozco si se tradujo al castellano).

# The Ramanujan Problem – David Singmaster – Mathematical Spectrum Volume 25 1992/93 Number 1 pp 26.

17 comentarios

  1. Que grande el Rama. Yo me he ido directamente también a hacer el método de los cuadrado que cuentas, es lo más directo.

  2. […] This post was mentioned on Twitter by Tito Eliatron, Deltaedro. Deltaedro said: RT @eliatron: Desafiando a un Genio http://ff.im/-m1SLf […]

  3. arto capo el niño de 14 ni yop supiera tanto como el

  4. Jonas Castillo Toloza |Responder

    Ramanujan es mi gran hèroe. NO conocìa la anecdota comentada aquì.El problema se puede resolver fàcil mentalmente

    (raìz de x) = 7 – y, nòtese que y < 7.

    Creo que para una mente como la de Ramanujan, este problema se resuelve por tanteo de manera ràpida.

  5. Concuerdo que el método del tanteo es mas valido, lo que pasa es que estamos programados para tomar el camino difícil. El gurú Ramanujan veía las cosas de forma mas simple.
    Que paradójico.

  6. Srinivasa Ramanujan fue la fugaz aparicion de las matematicas hecha hombre en este planeta.

  7. Ramanujan tiene declaraciones bien pachecas en relacion a Dios. Es mi idolo

  8. Me pregunto que lo que sucederá en algún momento futuro (cuando t tienda a infinito) en el que estén interactuando juntos varios matemáticos como él (p.ej. Perelman, Godel, Gauss, Poincaré, etc.).

  9. José F. Hernández R. |Responder

    De José F. Hernández R.
    Completamente de acuerdo, no es cualquier mortal el que resuelve una ecuación algebraica de tercer grado.

  10. fuera del alcance en ese tiempo para mortales…no se puede competir con un dios…

  11. […] el sistema propuesto en este artículo? Existe una resolución que se puede encontrar en este enlace. Dicha resolución consta de ocho pasos y los cálculos resultarán, para un profano, un verdadero […]

  12. El conocimiento es universal, Ramanujan es un ejemplo de ello. Me gustaria saber como adquirir su obra matematica, libros .

    saludos

  13. (1) a+b^2 = 7
    (2) b+a^2=11

    Si m+n=p:
    (3) m+n^2 = p+n(n-1)

    Siendo:
    n(n-1) = 2, 6, 12, 20, …

    De a+b^2 = 7, en (3) siendo m=a y n=b:
    7=p+b(b-1), posibles soluciones:
    p=5 -> b = 2
    p=1 -> b = 3

    Evaluando las posibles soluciones en b+a^2 = 11:
    Si b=2 -> a = 3 a = 2*sqrt(2) valor no entero

    1. Evaluando las posibles soluciones en b+a^2 = 11:
      Si b=2 -> a = 3 a = 2*sqrt(2) valor no entero

    2. Evaluando las posibles soluciones en b+a^2 = 11:
      Si b=2 -> a = 3 –> solucion
      Si b=3 -> a = 2*sqrt(2) valor no entero

  14. Otra forma:

    (1) a+b^2 = 7
    (2) b+a^2=11

    Cuadrados menores de 7: 1->1, 2->4

    De (1):
    Para b^2=1 -> a+1=7 -> a = 6 que en (2) queda: 1+37=11 –> no se cumple
    Para b^2=4 -> a+4=7 -> a = 3 que en (2) queda: 2+9=11 –> se cumple -> solución: a=3, b=2

  15. Corrección:
    Para b^2=1 -> a+1=7 -> a = 6 que en (2) queda: 1+36=11 –> no se cumple

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