Desafiando a un Genio

A la edad de 14 años el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan fue desafiado con un problema, por su compañero de escuela C.V. Rajagopalachari, quién quería probar cuán inteligente era Ramanujan. El problema pedía resolver simultáneamente las siguientes ecuaciones:

\displaystyle\sqrt {x}+y=7       \displaystyle\sqrt{y}+x=11

La historia cuenta que Ramanujan no solo resolvió este sistema de ecuaciones, sino que lo hizo en medio minuto luego de un razonamiento en dos simples pasos. Así, treinta segundos luego de planteado el problema, Ramanujan dió una solución en números enteros para las ecuaciones planteadas: \displaystyle x=9 , \displaystyle y=4.

Cuando leí la historia, me pregunté ¿cuánto me llevaría llegar a la solución de Ramanujan?. La diferencia de tiempo sería una medida aproximada de la diferencia entre la capacidad mental de un  genio y de este humilde mortal de inteligencia promedio.

Puesto en la tarea y armado de la tecnología básica para hacer matemáticas, lápiz y papel, me puse a resolver el problema, aquí van mis resultados y descubrimientos:

1°) Tratamos de simplificar los términos de las ecuaciones:

\displaystyle\sqrt {x}+y=7  \displaystyle definimos  \displaystyle\sqrt{x}=a \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=a^2

\displaystyle\sqrt{y}+x=11 \displaystyle definimos  \displaystyle\sqrt{y}=b \displaystyle\rightarrow \displaystyle y=b^2

2°) Sustituimos en los valores definidos originalmente:

\displaystyle\sqrt {x}+y=7 \displaystyle\rightarrow \displaystyle a+b^2=7      (1)

\displaystyle x+\sqrt{y}=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle a^2+b=11   (2)

3°) Despejamos a en la ecuación (1) y sustituimos a en la ecuación (2):

\displaystyle a+b^2=7   \displaystyle\rightarrow \displaystyle a=7-b^2

\displaystyle a^2+b=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle (7-b^2)^2+b=11 (3)

4°) Desarrollamos (3):

\displaystyle (7-b^2)^2+b=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle 49-14b^2+b^4+b=11

\displaystyle (7-b^2)^2+b=11 \displaystyle\rightarrow \displaystyle b^4-14b^2+b+38=0 (4)

5°) Factorizamos el polinomio de cuarto grado (4), de la siguiente manera:

\displaystyle b^4-14b^2+b+38=0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle (b-2)(b^3+2b^2-10b-19)=0 (5)

6°) De la ecuación obtenida en (5) obtenemos una primera raíz racional: \displaystyle b=2 (6)

7°) Sustituimos (6) en (1) y obtenemos:

\displaystyle a+b^2=7   \displaystyle\rightarrow \displaystyle a=3 (7)

8°) Por lo tanto de (6) y (7) obtenemos finalmente:

\displaystyle x=a^2=9

\displaystyle y=b^2=4

Estos son los valores de las raíces dados por Ramanujan que verifican las ecuaciones propuestas en el problema. Queda determinar las raíces del polinomio de tercer grado en (5), y aquí se me queman un poco los papeles, resolver funciones polinómicas de tercer grado no está en mi stock básico de conocimientos matemáticos.

Investigando un poco, encuentro que en Análisis Númerico se utiliza un método para encontrar los “ceros” o “raíces” de una función polinómica de grado n, denominado Método Newton-Raphson. Es un metódo iterativo bastante fácil de aplicar y fácilmente modelable en una planilla de cálculo Excel, también con Geogebra (motivo de un próximo post).

El resultado de aplicar el Método Newton-Raphson, y permitiendo valores positivos y negativos para los radicales \displaystyle\sqrt{x} y \displaystyle\sqrt{y}, obtenemos las siguientes soluciones:

\displaystyle\sqrt{x}>0 , \displaystyle\sqrt{y}>0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=9 , \displaystyle y=4

\displaystyle\sqrt{x}>0 , \displaystyle\sqrt{y}<0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=12,84813 , \displaystyle y=3,41557

\displaystyle\sqrt{x}<0 , \displaystyle\sqrt{y}>0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=7,86869 , \displaystyle y=9,80512

\displaystyle\sqrt{x}<0 , \displaystyle\sqrt{y}<0 \displaystyle\rightarrow \displaystyle x=14,28319 , \displaystyle y=10,77931

Comparando el tiempo que dediqué a resolver este problema con el que empleó Ramanujan, sin entrar en detalles, digamos que pasaron unas cuantas decenas de minutos. Por algo uno es un simple mortal y no un genio.

¿Habrá hecho Ramanujan todo este análisis mentalmente en medio minuto?, es muy probable que Ramanujan al ver las  ecuaciones que le planteó su amigo, dedujo que las raíces podrían ser números cuadrados, reemplazó con los primeros cuadrados 4 y 9 …¡¡¡¡ta daaaa!!!!… resuelto, ahí está su genio: en la facilidad, simpleza y eficiencia en llegar a la solución.

De todos modos, independientemente de los minutos invertidos, tener ese momento ¡¡¡ajá!!! al llegar al resultado dado por Ramanujan y aprender a resolver funciones polinómicas con un método que desconocía, no está mal para un simple par de ecuaciones, ¿no?.

(Este post se propone para la V Edición del Carnaval de Matemáticas el próximo 21/06/2010 en el blog Ciencia)

Referencias:

# Srinivasa Aaiyangar Ramanujan – Wikipedia (Castellano).

# Srinivasa Ramanujan – Wikipedia (Inglés).

# The Man Who Knew Infinity – Robert Kanigel – Washington Square Press (1991) pp 78-79.

(El Hombre que conoció el Infinito, nunca un título más apropiado para relatar la vida de Ramanujan. Este libro es la referencia obligada para saber de la vida de este genio, best seller en su momento, muy bien escrito, con un inglés básico se lee de corrido sin problemas, desconozco si se tradujo al castellano).

# The Ramanujan Problem – David Singmaster – Mathematical Spectrum Volume 25 1992/93 Number 1 pp 26.

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25 comentarios

  1. Que grande el Rama. Yo me he ido directamente también a hacer el método de los cuadrado que cuentas, es lo más directo.

  2. […] This post was mentioned on Twitter by Tito Eliatron, Deltaedro. Deltaedro said: RT @eliatron: Desafiando a un Genio http://ff.im/-m1SLf […]

  3. arto capo el niño de 14 ni yop supiera tanto como el

  4. Jonas Castillo Toloza |Responder

    Ramanujan es mi gran hèroe. NO conocìa la anecdota comentada aquì.El problema se puede resolver fàcil mentalmente

    (raìz de x) = 7 – y, nòtese que y < 7.

    Creo que para una mente como la de Ramanujan, este problema se resuelve por tanteo de manera ràpida.

    1. Lambert Francis (pseudo gendarmesque) : Personne ne relève l’influence de l’anglais. Ce qui était une influence réciproque est devenu une soumission structurelle, l’esprit dominé dès 1763.Pourquoi 1763 ? Le français a été depuis le XVIIIe s. la langue des traités internationaux jusqu’en 1919, date du traité de Versailles, avec les conséquences que l’on connaît. Réduire la perte d&uflro;insquence de la France et du français à la seule perte du Canada est une absurdité ethnocentrique.

  5. Concuerdo que el método del tanteo es mas valido, lo que pasa es que estamos programados para tomar el camino difícil. El gurú Ramanujan veía las cosas de forma mas simple.
    Que paradójico.

  6. Srinivasa Ramanujan fue la fugaz aparicion de las matematicas hecha hombre en este planeta.

  7. Ramanujan tiene declaraciones bien pachecas en relacion a Dios. Es mi idolo

  8. Me pregunto que lo que sucederá en algún momento futuro (cuando t tienda a infinito) en el que estén interactuando juntos varios matemáticos como él (p.ej. Perelman, Godel, Gauss, Poincaré, etc.).

  9. José F. Hernández R. |Responder

    De José F. Hernández R.
    Completamente de acuerdo, no es cualquier mortal el que resuelve una ecuación algebraica de tercer grado.

  10. fuera del alcance en ese tiempo para mortales…no se puede competir con un dios…

    1. Nachdem Deutschland ja von mehreren Ländern im Bereich der Windenergie von der FÃisgunrhposit¼on verdrängt wurde, klingt das ja wieder ganz gut.Das Offshore-Wachstum klingt für mich allerdings nach einem sehr ehrgeizigem Ziel (60 auf 25.000MW) – ist das überhaupt physikalisch bzw. finanziell machbar?

    2. Liebe Claudine,dein Blog ist eigentlich schon ein Gewinn, aber ich kann nicht widerstehen und mache mit!Gerne verlinke ich deine Aktionmit liebem GrußGabriele

  11. […] el sistema propuesto en este artículo? Existe una resolución que se puede encontrar en este enlace. Dicha resolución consta de ocho pasos y los cálculos resultarán, para un profano, un verdadero […]

  12. El conocimiento es universal, Ramanujan es un ejemplo de ello. Me gustaria saber como adquirir su obra matematica, libros .

    saludos

  13. (1) a+b^2 = 7
    (2) b+a^2=11

    Si m+n=p:
    (3) m+n^2 = p+n(n-1)

    Siendo:
    n(n-1) = 2, 6, 12, 20, …

    De a+b^2 = 7, en (3) siendo m=a y n=b:
    7=p+b(b-1), posibles soluciones:
    p=5 -> b = 2
    p=1 -> b = 3

    Evaluando las posibles soluciones en b+a^2 = 11:
    Si b=2 -> a = 3 a = 2*sqrt(2) valor no entero

    1. Evaluando las posibles soluciones en b+a^2 = 11:
      Si b=2 -> a = 3 a = 2*sqrt(2) valor no entero

    2. Evaluando las posibles soluciones en b+a^2 = 11:
      Si b=2 -> a = 3 –> solucion
      Si b=3 -> a = 2*sqrt(2) valor no entero

  14. Otra forma:

    (1) a+b^2 = 7
    (2) b+a^2=11

    Cuadrados menores de 7: 1->1, 2->4

    De (1):
    Para b^2=1 -> a+1=7 -> a = 6 que en (2) queda: 1+37=11 –> no se cumple
    Para b^2=4 -> a+4=7 -> a = 3 que en (2) queda: 2+9=11 –> se cumple -> solución: a=3, b=2

    1. Amigos, me gusta la idea de fomentar la bicicleta, gracias a personas como ustedes el mundo sigue caminando y se sigue deteniendo un poco la coantminación, con éste y muchos programas más.Me gustaría integrarme al grupo para poder contribuír con esta acción, aparte me ayudaría a mi salud.Díganme por favor como le hago para pertenecer al grupo.

    2. Thank you for the reply Zach. I have changed the wp-content permissions to 777 but how do I see in Apache if directory is writable. We use the CPANEL administration module. And the only reference to Apache is the “Apache handlers” and none has been set. What should I add here if I need to set a handler?

  15. Corrección:
    Para b^2=1 -> a+1=7 -> a = 6 que en (2) queda: 1+36=11 –> no se cumple

    1. Unos espacios prcsoisoe!! Lástima que estas bañeras me recuerdan que mis caderas entran más fácil en una ducha.Feliz semana Cecilia.Un abrazo y besos desde Estella.

    2. Hello Dear MaryIt's been a long break for me. Yes I had so much fun being with my dear friend, and having my 3 kids together was also very special.We just received our first sprinkle of snow this morning. It's picture perfect. Looks like you have a little more than us, which is unusual for this time of year… for us that is.Your soup looks very yummy, but I must say the blue plate just popped out!.Happy Blue Monday MaryLove Claudie from Canadaxoxoxoxo

  16. wilmerdia@hotmail.com |Responder

    No era tan dificil solucionar el sistema
    raiz(x)+y=7
    x+raiz(y)=11
    —————————
    raiz(x)=7-y
    raiz(x)=raiz(11-raiz(y)
    igualando
    7-y=raiz(11-raiz(y))
    elevando al cuadrado:
    cuadrado(7-y)=11-raiz(y)
    Se sabe que y es un entero, de un valor bajo y cuya raiz es un entero. No hay muchas opciones: Es evidente y=4
    ahora retomando la primera ecuacion del sistema
    raiz(x)+4=7
    raiz(x)=3
    x=9

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